ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.17

1) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ 9(x+5)^2 - (x-7)^2 = (3(x+5))^2 - (x-7)^2 $$ $$ = (3(x+5) - (x-7))(3(x+5) + (x-7)) $$ Раскроем скобки внутри каждого множителя: $$ = (3x + 15 - x + 7)(3x + 15 + x - 7) = (2x + 22)(4x + 8) $$ Вынесем общие числовые множители за скобки: $$ = 2(x + 11) \cdot 4(x + 2) = 8(x + 11)(x + 2) $$ 2) Применим формулу разности квадратов: $$ 49(y-4)^2 - 9(y+2)^2 = (7(y-4))^2 - (3(y+2))^2 $$ $$ = (7(y-4) - 3(y+2))(7(y-4) + 3(y+2)) $$ Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые: $$ = (7y - 28 - 3y - 6)(7y - 28 + 3y + 6) = (4y - 34)(10y - 22) $$ Вынесем общие множители из каждой скобки: $$ = 2(2y - 17) \cdot 2(5y - 11) = 4(2y - 17)(5y - 11) $$ 3) Разложим сумму кубов $x^3 + y^3$ по формуле $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$: $$ x^3 + y^3 + 2xy(x+y) = (x+y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x+y) $$ Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки: $$ = (x+y)(x^2 - xy + y^2 + 2xy) = (x+y)(x^2 + xy + y^2) $$ 4) Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель $5$: $$ 5a^2 - 5 - 4(a-1)^2 = 5(a^2 - 1) - 4(a-1)^2 $$ Разложим разность квадратов $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$: $$ = 5(a-1)(a+1) - 4(a-1)^2 $$ Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки: $$ = (a-1)(5(a+1) - 4(a-1)) = (a-1)(5a + 5 - 4a + 4) = (a-1)(a+9) $$ 5) Разложим разность квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $$ 2(x+y)^2 + x^2 - y^2 = 2(x+y)^2 + (x-y)(x+y) $$ Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки: $$ = (x+y)(2(x+y) + (x-y)) = (x+y)(2x + 2y + x - y) = (x+y)(3x + y) $$ 6) Сгруппируем слагаемые попарно: $$ a^4 + ab^3 - a^3b - b^4 = (a^4 - a^3b) + (ab^3 - b^4) $$ Вынесем общие множители из каждой группы: $$ = a^3(a - b) + b^3(a - b) = (a - b)(a^3 + b^3) $$ Разложим сумму кубов $a^3 + b^3$: $$ = (a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2) $$ 7) Сгруппируем последние три слагаемых, вынеся минус за скобки: $$ (x-y+4)^2 - x^2 + 2xy - y^2 = (x-y+4)^2 - (x^2 - 2xy + y^2) $$ Свернем выражение во второй скобке по формуле квадрата разности: $$ = (x-y+4)^2 - (x-y)^2 $$ Применим формулу разности квадратов: $$ = ((x-y+4) - (x-y))((x-y+4) + (x-y)) $$ $$ = (x - y + 4 - x + y)(x - y + 4 + x - y) = 4(2x - 2y + 4) $$ Вынесем общий множитель $2$ из второй скобки: $$ = 4 \cdot 2(x - y + 2) = 8(x - y + 2) $$ 8) Применим формулу суммы кубов $u^3 + v^3 = (u+v)(u^2 - uv + v^2)$, где $u = a-b$, $v = a+b$: $$ (a-b)^3 + (a+b)^3 = ((a-b) + (a+b))((a-b)^2 - (a-b)(a+b) + (a+b)^2) $$ Упростим выражение в каждой скобке: $$ (a - b) + (a + b) = 2a $$ $$ (a-b)^2 - (a^2 - b^2) + (a+b)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 - b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) $$ $$ = a^2 - 2ab + b^2 - a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 3b^2 $$ Таким образом: $$ (a-b)^3 + (a+b)^3 = 2a(a^2 + 3b^2) $$ 9) Применим формулу суммы кубов $u^3 + v^3 = (u+v)(u^2 - uv + v^2)$, где $u = x+2y$, $v = 2x-y$: $$ (x+2y)^3 + (2x-y)^3 = ((x+2y) + (2x-y))((x+2y)^2 - (x+2y)(2x-y) + (2x-y)^2) $$ Преобразуем первый множитель: $$ (x+2y) + (2x-y) = 3x + y $$ Преобразуем второй множитель: $$ (x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2 $$ $$ (x+2y)(2x-y) = 2x^2 - xy + 4xy - 2y^2 = 2x^2 + 3xy - 2y^2 $$ $$ (2x-y)^2 = 4x^2 - 4xy + y^2 $$ Подставим полученные многочлены: $$ (x^2 + 4xy + 4y^2) - (2x^2 + 3xy - 2y^2) + (4x^2 - 4xy + y^2) $$ $$ = x^2 + 4xy + 4y^2 - 2x^2 - 3xy + 2y^2 + 4x^2 - 4xy + y^2 $$ $$ = (1 - 2 + 4)x^2 + (4 - 3 - 4)xy + (4 + 2 + 1)y^2 = 3x^2 - 3xy + 7y^2 $$ Таким образом: $$ (x+2y)^3 + (2x-y)^3 = (3x + y)(3x^2 - 3xy + 7y^2) $$