ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.19

1) Воспользуемся формулой суммы $n$-х степеней для нечётного показателя: $$ a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots - ab^{n-2} + b^{n-1}) $$ При $n = 5$: $$ (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = a^5 + b^5 $$ Пусть $a = 2x$, а $b = 1$. Проверим соответствие слагаемых во второй скобке: * $a^4 = (2x)^4 = 16x^4$; * $a^3b = (2x)^3 \cdot 1 = 8x^3$; * $a^2b^2 = (2x)^2 \cdot 1^2 = 4x^2$; * $ab^3 = 2x \cdot 1^3 = 2x$; * $b^4 = 1^4 = 1$. Все слагаемые совпадают с выражением в условии: $$ (2x+1)(16x^4-8x^3+4x^2-2x+1) = (2x)^5 + 1^5 = 32x^5 + 1 $$ Также это можно проверить последовательным раскрытием скобок: $$ 2x(16x^4-8x^3+4x^2-2x+1) + 1(16x^4-8x^3+4x^2-2x+1) $$ $$ = 32x^5 - 16x^4 + 8x^3 - 4x^2 + 2x + 16x^4 - 8x^3 + 4x^2 - 2x + 1 = 32x^5 + 1 $$ 2) Воспользуемся формулой разности $n$-х степеней: $$ a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1}) $$ При $n = 4$: $$ (a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) = a^4 - b^4 $$ Пусть $a = \frac{2}{3}x$, а $b = 3ab$. Проверим соответствие слагаемых во второй скобке: * $a^3 = \left(\frac{2}{3}x\right)^3 = \frac{8}{27}x^3$; * $a^2b = \left(\frac{2}{3}x\right)^2 \cdot (3ab) = \frac{4}{9}x^2 \cdot 3ab = \frac{4}{3}x^2ab$; * $ab^2 = \left(\frac{2}{3}x\right) \cdot (3ab)^2 = \frac{2}{3}x \cdot 9a^2b^2 = 6xa^2b^2$; * $b^3 = (3ab)^3 = 27a^3b^3$. Все слагаемые соответствуют формуле, следовательно: $$ \left(\frac{2}{3}x - 3ab\right) \left(\frac{8}{27}x^3 + \frac{4}{3}x^2ab + 6xa^2b^2 + 27a^3b^3\right) = \left(\frac{2}{3}x\right)^4 - (3ab)^4 = \frac{16}{81}x^4 - 81a^4b^4 $$ **Ответ:** 1) $32x^5 + 1$; 2) $\frac{16}{81}x^4 - 81a^4b^4$.