ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.14

**1)** Докажем иррациональность числа $\sqrt{2}$ методом от противного. Предположим противное: пусть $\sqrt{2}$ является рациональным числом. Тогда его можно записать в виде несократимой дроби: $$ \sqrt{2} = \frac{m}{n} $$ где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ и дробь $\frac{m}{n}$ несократима, то есть $\text{НОД}(m, n) = 1$. Возведём обе части равенства в квадрат: $$ 2 = \frac{m^2}{n^2} $$ $$ m^2 = 2n^2 $$ Из полученного равенства следует, что $m^2$ — чётное число (делится на $2$). Значит, и само число $m$ является чётным (делится на $2$), так как квадрат нечётного числа нечётен. Пусть $m = 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Подставим это выражение в равенство $m^2 = 2n^2$: $$ (2k)^2 = 2n^2 $$ $$ 4k^2 = 2n^2 $$ Разделим обе части на $2$: $$ n^2 = 2k^2 $$ Следовательно, $n^2$ делится на $2$, а значит, и число $n$ делится на $2$. Получили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ делятся на $2$. Это противоречит тому, что дробь $\frac{m}{n}$ несократима. Следовательно, исходное предположение неверно, и число $\sqrt{2}$ — иррациональное. --- **2)** Докажем иррациональность числа $\sqrt{3}$ методом от противного. Предположим противное: пусть $\sqrt{3}$ — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби: $$ \sqrt{3} = \frac{m}{n} $$ где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ и $\text{НОД}(m, n) = 1$. Возведём обе части равенства в квадрат: $$ 3 = \frac{m^2}{n^2} $$ $$ m^2 = 3n^2 $$ Отсюда следует, что $m^2$ делится на $3$. Так как $3$ — простое число, то и $m$ делится на $3$. Пусть $m = 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Подставим это в равенство: $$ (3k)^2 = 3n^2 $$ $$ 9k^2 = 3n^2 $$ Разделим обе части на $3$: $$ n^2 = 3k^2 $$ Значит, $n^2$ делится на $3$, а следовательно, и само число $n$ делится на $3$. Получили, что оба числа $m$ и $n$ делятся на $3$. Это противоречит предположению о несократимости дроби $\frac{m}{n}$. Следовательно, исходное предположение неверно, и число $\sqrt{3}$ — иррациональное. --- **3)** Докажем иррациональность числа $\sqrt{5}$ методом от противного. Предположим противное: пусть $\sqrt{5}$ — рациональное число. Тогда его можно записать в виде несократимой дроби: $$ \sqrt{5} = \frac{m}{n} $$ где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ и $\text{НОД}(m, n) = 1$. Возведём обе части в квадрат: $$ 5 = \frac{m^2}{n^2} $$ $$ m^2 = 5n^2 $$ Следовательно, $m^2$ делится на $5$. Так как $5$ — простое число, то и $m$ делится на $5$. Пусть $m = 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Подставим это выражение в уравнение: $$ (5k)^2 = 5n^2 $$ $$ 25k^2 = 5n^2 $$ Разделим обе части на $5$: $$ n^2 = 5k^2 $$ Значит, $n^2$ делится на $5$, а следовательно, и $n$ делится на $5$. Таким образом, и $m$, и $n$ делятся на $5$, что противоречит тому, что дробь $\frac{m}{n}$ несократима. Следовательно, предположение неверно, и число $\sqrt{5}$ — иррациональное.