ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.20

1) Воспользуемся формулой разности $n$-х степеней: для любого натурального $n$ выражение $a^n - b^n$ раскладывается на множители: $$ a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + b^{n-1}) $$ Применим эту формулу для $a = 143$, $b = 81$ и $n = 15$: $$ 143^{15} - 81^{15} = (143 - 81)(143^{14} + 143^{13} \cdot 81 + \ldots + 81^{14}) $$ Вычислим значение в первой скобке: $143 - 81 = 62$. Тогда выражение принимает вид: $$ 143^{15} - 81^{15} = 62 \cdot (143^{14} + 143^{13} \cdot 81 + \ldots + 81^{14}) $$ Второй множитель является целым числом, так как представляет собой сумму и произведение целых чисел. Следовательно, данное произведение делится на 62, что и требовалось показать. 2) Преобразуем слагаемые, представив основания в виде произведения множителей: $12 = 4 \cdot 3$ и $28 = 4 \cdot 7$. Запишем исходное выражение: $$ 12^{31} + 28^{31} = (4 \cdot 3)^{31} + (4 \cdot 7)^{31} = 4^{31} \cdot 3^{31} + 4^{31} \cdot 7^{31} $$ Вынесем общий множитель $4^{31}$ за скобки: $$ 12^{31} + 28^{31} = 4^{31}(3^{31} + 7^{31}) $$ Так как показатель степени $n = 31$ — нечётное число, применим формулу суммы нечётных степеней $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \ldots + b^{n-1})$: $$ 3^{31} + 7^{31} = (3 + 7)(3^{30} - 3^{29} \cdot 7 + \ldots + 7^{30}) = 10 \cdot (3^{30} - 3^{29} \cdot 7 + \ldots + 7^{30}) $$ Значение во второй скобке является целым числом, обозначим его за $k$. Тогда: $$ 3^{31} + 7^{31} = 10k $$ Преобразуем всё исходное число, выделив множитель 8 из степени $4^{31}$: $4^{31} = 4^2 \cdot 4^{29} = 16 \cdot 4^{29} = 8 \cdot 2 \cdot 4^{29}$. Подставим полученные результаты: $$ 12^{31} + 28^{31} = 4^{31} \cdot 10k = (8 \cdot 2 \cdot 4^{29}) \cdot 10k = (8 \cdot 10) \cdot (2 \cdot 4^{29} \cdot k) = 80 \cdot (2 \cdot 4^{29} \cdot k) $$ Так как число представлено в виде произведения 80 и целого числа, оно делится на 80, что и требовалось показать.