ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.73

В задаче 5.72 рассматривается игра, в которой игроки поочередно бросают симметричную монету. Выигрывает тот, у кого первым выпадет «герб». Пусть в игре участвуют три игрока: первый, второй и третий. Они бросают монету по очереди: сначала первый, затем второй, затем третий, потом снова первый и так далее. Вероятность выпадения герба при одном броске равна $p = \frac{1}{2}$, а вероятность выпадения решки равна $q = 1 - p = \frac{1}{2}$. 1. **Вероятность выигрыша первого игрока ($P_1$):** Первый игрок делает броски с номерами $1, 4, 7, \dots, 3k - 2$. Он выигрывает, если герб впервые выпадет на одном из этих бросков: - на 1-м броске с вероятностью $\frac{1}{2}$; - на 4-м броске (первые 3 броска — решка, 4-й — герб) с вероятностью $\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$; - на 7-м броске (первые 6 бросков — решка, 7-й — герб) с вероятностью $\left(\frac{1}{2}\right)^6 \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^7$ и так далее. Вероятность $P_1$ представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \frac{1}{2}$ и знаменателем $q = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$: $$ P_1 = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{8}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{7} = \frac{4}{7} $$ 2. **Вероятность выигрыша второго игрока ($P_2$):** Второй игрок делает броски с номерами $2, 5, 8, \dots, 3k - 1$. Он выигрывает, если герб впервые выпадет на одном из этих бросков: - на 2-м броске с вероятностью $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$; - на 5-м броске с вероятностью $\left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{32}$; - на 8-м броске с вероятностью $\left(\frac{1}{2}\right)^7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{256}$ и так далее. Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \frac{1}{4}$ и знаменателем $q = \frac{1}{8}$: $$ P_2 = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{8}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7} = \frac{2}{7} $$ 3. **Вероятность выигрыша третьего игрока ($P_3$):** Третий игрок делает броски с номерами $3, 6, 9, \dots, 3k$. Он выигрывает, если герб впервые выпадет на одном из этих бросков: - на 3-м броске с вероятностью $\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$; - на 6-м броске с вероятностью $\left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{64}$; - на 9-м броске с вероятностью $\left(\frac{1}{2}\right)^8 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{512}$ и так далее. Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \frac{1}{8}$ и знаменателем $q = \frac{1}{8}$: $$ P_3 = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{7}{8}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{7} = \frac{1}{7} $$ Проверка: $\frac{4}{7} + \frac{2}{7} + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} = 1$. Ответ: вероятность выигрыша первого игрока равна $\frac{4}{7}$, второго игрока — $\frac{2}{7}$, третьего игрока — $\frac{1}{7}$.