ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.72

Пусть первый игрок делает нечетные броски (1-й, 3-й, 5-й и т. д.), а второй игрок — четные броски (2-й, 4-й, 6-й и т. д.). При каждом подбрасывании монеты вероятность выпадения герба равна $\frac{1}{2}$, а вероятность выпадения решки также равна $\frac{1}{2}$. Игра продолжается до первого выпадения герба. 1) Найдем вероятность выигрыша первого игрока ($P_1$). Первый игрок побеждает, если герб выпадет на 1-м, 3-м, 5-м и т. д. броске: * на 1-м броске: выпадает герб сразу, вероятность равна $\frac{1}{2}$; * на 3-м броске: первые два раза выпадает решка, а на третий раз — герб, вероятность равна $\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3$; * на 5-м броске: первые четыре раза выпадает решка, а на пятый — герб, вероятность равна $\left(\frac{1}{2}\right)^5$, и так далее. События несовместны, поэтому вероятность выигрыша первого игрока равна сумме вероятностей: $$ P_1 = \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^5 + \dots $$ Полученный ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, где: * первый член $b_1 = \frac{1}{2}$; * знаменатель $q = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$. Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1 - q}$: $$ P_1 = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3} $$ 2) Найдем вероятность выигрыша второго игрока ($P_2$). Второй игрок побеждает, если герб выпадет на 2-м, 4-м, 6-м и т. д. броске: * на 2-м броске: сначала выпадает решка, затем герб, вероятность равна $\left(\frac{1}{2}\right)^2$; * на 4-м броске: первые три раза выпадает решка, затем герб, вероятность равна $\left(\frac{1}{2}\right)^4$, и так далее. Вероятность выигрыша второго игрока: $$ P_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^4 + \left(\frac{1}{2}\right)^6 + \dots = \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^3 + \dots $$ Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = \frac{1}{4}$ и знаменателем $q = \frac{1}{4}$: $$ P_2 = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3} $$ *(Также вероятность выигрыша второго игрока можно найти как $P_2 = 1 - P_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.)* Ответ: вероятность выигрыша первого игрока равна $\frac{2}{3}$, второго игрока — $\frac{1}{3}$.