ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.96

1) Применим формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$: $$ \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos x - \cos\frac{\pi}{4}\sin x $$ Так как $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $$ \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x) $$ 2) Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$: $$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + y\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos y + \cos\frac{\pi}{6}\sin y $$ Подставим значения $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$ \frac{1}{2}\cos y + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin y = \frac{\cos y + \sqrt{3}\sin y}{2} $$ 3) Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$: $$ \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos x + \sin\frac{\pi}{3}\sin x $$ Подставим значения $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$ \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \frac{\cos x + \sqrt{3}\sin x}{2} $$ 4) Применим формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$: $$ \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x $$ Подставим значения $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$ \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x) $$ 5) Применим формулу тангенса разности $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$: $$ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\operatorname{tg} x} $$ Так как $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$, получаем: $$ \frac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x} $$ 6) Применим формулу тангенса суммы $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$: $$ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3} + y\right) = \frac{\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} + \operatorname{tg} y}{1 - \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}\operatorname{tg} y} $$ Так как $\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, получаем: $$ \frac{\sqrt{3} + \operatorname{tg} y}{1 - \sqrt{3}\operatorname{tg} y} $$ 7) Применим формулу котангенса разности $\operatorname{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta + 1}{\operatorname{ctg}\beta - \operatorname{ctg}\alpha}$: $$ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \frac{\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}\operatorname{ctg} x + 1}{\operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}} $$ Так как $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$, получаем: $$ \frac{\sqrt{3}\operatorname{ctg} x + 1}{\operatorname{ctg} x - \sqrt{3}} $$ 8) Применим формулу котангенса суммы $\operatorname{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta - 1}{\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\beta}$: $$ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}\operatorname{ctg} x - 1}{\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} + \operatorname{ctg} x} $$ Так как $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$, получаем: $$ \frac{\operatorname{ctg} x - 1}{\operatorname{ctg} x + 1} $$