ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.77

1) Решим неравенство: $$ \frac{2x^2 - 7x + 5}{4 - x^2} < 0 $$ Разложим числитель дроби на множители. Для этого найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 5 = 0$: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^2 $$ $$ x_1 = \frac{7 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{7 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2{,}5 $$ Тогда числитель равен $2(x - 1)(x - 2{,}5)$. Разложим знаменатель дроби на множители по формуле разности квадратов: $$ 4 - x^2 = -(x^2 - 4) = -(x - 2)(x + 2) $$ Подставим полученные выражения в неравенство: $$ \frac{2(x - 1)(x - 2{,}5)}{-(x - 2)(x + 2)} < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $$ \frac{2(x - 1)(x - 2{,}5)}{(x - 2)(x + 2)} > 0 $$ Разделим обе части на положительное число $2$: $$ \frac{(x - 1)(x - 2{,}5)}{(x - 2)(x + 2)} > 0 $$ Применим метод интервалов: - нули числителя: $x = 1$, $x = 2{,}5$; - нули знаменателя (значения, при которых дробь не существует): $x = -2$, $x = 2$. Так как знак неравенства строгий, все найденные точки являются выколотыми. Отметим их на координатной прямой в порядке возрастания: $-2$; $1$; $2$; $2{,}5$. Определим знаки выражения на получившихся интервалах: - при $x \in (2{,}5; +\infty)$ выражение принимает знак «$+$»; - при $x \in (2; 2{,}5)$ знак «$-$»; - при $x \in (1; 2)$ знак «$+$»; - при $x \in (-2; 1)$ знак «$-$»; - при $x \in (-\infty; -2)$ знак «$+$». Выбираем промежутки, где выражение строго больше нуля (знак «$+$»): $$ x \in (-\infty; -2) \cup (1; 2) \cup (2{,}5; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; -2) \cup (1; 2) \cup (2{,}5; +\infty)$. --- 2) Решим неравенство: $$ \frac{3x^2 + 4x - 7}{x^2 + 8x + 7} \leqslant 0 $$ Разложим числитель дроби на множители. Найдем корни уравнения $3x^2 + 4x - 7 = 0$: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2 $$ $$ x_1 = \frac{-4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $$ Значит, $3x^2 + 4x - 7 = 3\left(x + \frac{7}{3}\right)(x - 1)$. Разложим знаменатель дроби на множители. Для уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$ по теореме Виета корни: $$ x_3 = -7, \quad x_4 = -1 $$ Следовательно, $x^2 + 8x + 7 = (x + 7)(x + 1)$. Подставим разложения в неравенство: $$ \frac{3\left(x + \frac{7}{3}\right)(x - 1)}{(x + 7)(x + 1)} \leqslant 0 $$ Разделим обе части на $3$: $$ \frac{\left(x + \frac{7}{3}\right)(x - 1)}{(x + 7)(x + 1)} \leqslant 0 $$ Применим метод интервалов: - нули числителя: $x = -\frac{7}{3}$, $x = 1$ (закрашенные точки, так как неравенство нестрогое); - нули знаменателя: $x = -7$, $x = -1$ (всегда выколотые точки, деление на ноль невозможно). Нанесем точки на числовую прямую: $-7$; $-\frac{7}{3}$; $-1$; $1$. Определим знаки дроби на интервалах: - при $x \in (1; +\infty)$ знак «$+$»; - при $x \in (-1; 1]$ знак «$-$»; - при $x \in \left[-\frac{7}{3}; -1\right)$ знак «$+$»; - при $x \in \left(-7; -\frac{7}{3}\right]$ знак «$-$»; - при $x \in (-\infty; -7)$ знак «$+$». Выбираем интервалы, на которых выражение неположительно (знак «$-$»): $$ x \in \left(-7; -\frac{7}{3}\right] \cup (-1; 1] $$ Ответ: $\left(-7; -2\frac{1}{3}\right] \cup (-1; 1]$.