ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.70

Так как $\alpha, \beta$ и $\gamma$ — углы треугольника, то их сумма равна $180^\circ$: $$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $$ Выразим сумму $\alpha + \beta$: $$ \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma $$ Разделим обе части равенства на $2$: $$ \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2} $$ --- ### 1) Докажем тождество $\sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2}$ Подставим полученное выражение для $\frac{\alpha + \beta}{2}$ в левую часть: $$ \sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \sin\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) $$ Используем формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos x$: $$ \sin\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) = \cos\frac{\gamma}{2} $$ Левая часть равна правой части: $$ \cos\frac{\gamma}{2} = \cos\frac{\gamma}{2} $$ Тождество доказано. --- ### 2) Докажем тождество $\tan\frac{\alpha + \beta}{2} = \cot\frac{\gamma}{2}$ *(Примечание: в тексте задания содержится опечатка — в правой части вместо $\cos\frac{\gamma}{2}$ должен стоять котангенс $\cot\frac{\gamma}{2}$, так как для произвольного треугольника равенство верно именно для котангенса).* Подставим выражение $\frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$ в левую часть: $$ \tan\frac{\alpha + \beta}{2} = \tan\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) $$ Используем формулу приведения $\tan(90^\circ - x) = \cot x$: $$ \tan\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) = \cot\frac{\gamma}{2} $$ Левая часть равна правой части: $$ \cot\frac{\gamma}{2} = \cot\frac{\gamma}{2} $$ Тождество доказано.