ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.73

1) Докажем тождество $\sin(60^\circ - \alpha) = \cos(30^\circ + \alpha)$. Преобразуем левую часть тождества с помощью формулы приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos x$: $$ \sin(60^\circ - \alpha) = \sin(90^\circ - (30^\circ + \alpha)) = \cos(30^\circ + \alpha) $$ Получили, что левая часть равна правой части: $$ \cos(30^\circ + \alpha) = \cos(30^\circ + \alpha) $$ Тождество доказано. --- 2) Докажем тождество $\ctg(80^\circ - \alpha) = \tg(10^\circ + \alpha)$. Представим угол $80^\circ - \alpha$ в виде разности $90^\circ - (10^\circ + \alpha)$ и применим формулу приведения $\ctg(90^\circ - x) = \tg x$: $$ \ctg(80^\circ - \alpha) = \ctg(90^\circ - (10^\circ + \alpha)) = \tg(10^\circ + \alpha) $$ Левая часть равна правой части: $$ \tg(10^\circ + \alpha) = \tg(10^\circ + \alpha) $$ Тождество доказано. --- 3) Докажем тождество: $$ \frac{\cos^2(\pi - \alpha) + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(\pi + \alpha)\cos(2\pi - \alpha)}{\tg^2\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)\ctg^2\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)} = \cos^2\alpha $$ Упростим числитель и знаменатель дроби в левой части, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций: - $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha \implies \cos^2(\pi - \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha$; - $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha \implies \sin^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos^2\alpha$; - $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$; - $\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha$; - $\tg\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\tg\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = -\ctg\alpha \implies \tg^2\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = (-\ctg\alpha)^2 = \ctg^2\alpha$; - $\ctg\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\tg\alpha \implies \ctg^2\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = (-\tg\alpha)^2 = \tg^2\alpha$. Преобразуем числитель: $$ \cos^2\alpha + \cos^2\alpha + (-\cos\alpha) \cdot \cos\alpha = 2\cos^2\alpha - \cos^2\alpha = \cos^2\alpha $$ Преобразуем знаменатель, учитывая, что $\ctg\alpha \cdot \tg\alpha = 1$: $$ \ctg^2\alpha \cdot \tg^2\alpha = (\ctg\alpha \cdot \tg\alpha)^2 = 1^2 = 1 $$ Подставим полученные выражения в дробь: $$ \frac{\cos^2\alpha}{1} = \cos^2\alpha $$ Левая часть равна правой: $$ \cos^2\alpha = \cos^2\alpha $$ Тождество доказано.