ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.72
Авторы: Шыныбеков А.Н., Шыныбеков Д.А., Жумабаев Р.Н.
Издательство: Атамұра
Тип книги: Учебник
Год: 2019
Подробное решение раздел 4 № 4.72 по алгебре для учащихся 9 класса , авторов Шыныбеков, Шыныбеков, Жумабаев 2019
ИИ-решебник / раздел 4 / 4.72
Ответ подготовлен нейросетью и может содержать ошибки
Объяснение и пошаговое решение
### 1)
Применим формулы приведения к каждому слагаемому в скобках:
- $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$;
- $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$;
- $\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha$;
- $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$$
\left(-\sin\alpha - \sin\alpha\right)^2 + \left(\cos\alpha - (-\cos\alpha)\right)^2
$$
Упростим выражения внутри скобок:
$$
(-2\sin\alpha)^2 + (2\cos\alpha)^2 = 4\sin^2\alpha + 4\cos^2\alpha
$$
Вынесем общий множитель $4$ за скобки и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$$
4(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 4 \cdot 1 = 4
$$
**Ответ:** $4$
---
### 2)
Применим формулы приведения:
- $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{ctg}\alpha$;
- $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{tg}\alpha$;
- $\operatorname{ctg}(\pi + \alpha) = \operatorname{ctg}\alpha$;
- $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{tg}\alpha$.
Подставим найденные значения в выражение:
$$
(\operatorname{ctg}\alpha - (-\operatorname{tg}\alpha))^2 - (\operatorname{ctg}\alpha + (-\operatorname{tg}\alpha))^2 = (\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha)^2 - (\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha)^2
$$
Используем формулу разности квадратов $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$, где $a = \operatorname{ctg}\alpha$, $b = \operatorname{tg}\alpha$:
$$
4 \operatorname{ctg}\alpha \operatorname{tg}\alpha
$$
Так как $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$, получаем:
$$
4 \cdot 1 = 4
$$
**Ответ:** $4$
---
### 3)
Применим формулы приведения, представив углы через угол $20^\circ$:
- $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$;
- $\cos 110^\circ = \cos(90^\circ + 20^\circ) = -\sin 20^\circ$;
- $\sin 250^\circ = \sin(270^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ$;
- $\cos 340^\circ = \cos(360^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$;
- $\operatorname{tg} 110^\circ = \operatorname{tg}(90^\circ + 20^\circ) = -\operatorname{ctg} 20^\circ$;
- $\operatorname{tg} 340^\circ = \operatorname{tg}(360^\circ - 20^\circ) = -\operatorname{tg} 20^\circ$.
Подставим полученные тригонометрические функции в исходное выражение:
$$
\sin 20^\circ \cdot (-\sin 20^\circ) + (-\cos 20^\circ) \cdot \cos 20^\circ + (-\operatorname{ctg} 20^\circ) \cdot (-\operatorname{tg} 20^\circ)
$$
Выполним умножение слагаемых:
$$
-\sin^2 20^\circ - \cos^2 20^\circ + \operatorname{ctg} 20^\circ \operatorname{tg} 20^\circ
$$
Учитывая, что $\operatorname{ctg} 20^\circ \operatorname{tg} 20^\circ = 1$, сгруппируем первые два слагаемых:
$$
-(\sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ) + 1 = -1 + 1 = 0
$$
**Ответ:** $0$
---
### 4)
Преобразуем тригонометрические функции по формулам приведения:
- $\operatorname{tg} 288^\circ = \operatorname{tg}(270^\circ + 18^\circ) = -\operatorname{ctg} 18^\circ$;
- $\sin 148^\circ = \sin(180^\circ - 32^\circ) = \sin 32^\circ$;
- $\sin 302^\circ = \sin(270^\circ + 32^\circ) = -\cos 32^\circ$;
- $\sin 122^\circ = \sin(90^\circ + 32^\circ) = \cos 32^\circ$.
Подставим преобразованные функции в исходное выражение:
$$
\operatorname{tg} 18^\circ \cdot (-\operatorname{ctg} 18^\circ) + \sin 32^\circ \cdot \sin 32^\circ - (-\cos 32^\circ) \cdot \cos 32^\circ
$$
Упростим произведение:
$$
-(\operatorname{tg} 18^\circ \operatorname{ctg} 18^\circ) + \sin^2 32^\circ + \cos^2 32^\circ
$$
Используя соотношения $\operatorname{tg}\alpha \operatorname{ctg}\alpha = 1$ и $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:
$$
-1 + 1 = 0
$$
**Ответ:** $0$
Оцени решение:
Спасибо за оценку!
