ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.58

1) $y = \sin 2\pi x$ Для функции вида $y = \sin kx$ наименьший положительный период находится по формуле: $$ T = \frac{2\pi}{|k|} $$ В данном случае $k = 2\pi$. Находим период: $$ T = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 $$ Ответ: $T = 1$. 2) $y = |\cos x|$ Основной период функции $y = \cos x$ равен $2\pi$. График функции $|\cos x|$ получается отображением отрицательных полуволн косинуса в верхнюю полуплоскость. Так как для любого $x$ выполняется: $$ |\cos(x + \pi)| = |-\cos x| = |\cos x| $$ значения функции повторяются через каждые $\pi$ радиан. На интервале $(0; \pi)$ других периодов нет, следовательно, наименьший положительный период равен: $$ T = \pi $$ Ответ: $T = \pi$. 3) $y = 1 + \sin^2 x$ Применим формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$: $$ y = 1 + \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x $$ Период функции определяется гармоническим слагаемым $\cos 2x$, где коэффициент перед переменной $k = 2$. По формуле периода косинуса: $$ T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi $$ Ответ: $T = \pi$. 4) $y = \sin 2x + 3\cos 3x$ Функция является суммой двух периодических функций: - Для $y_1 = \sin 2x$ наименьший положительный период: $$ T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi $$ - Для $y_2 = 3\cos 3x$ наименьший положительный период: $$ T_2 = \frac{2\pi}{3} $$ Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов $T_1$ и $T_2$. Ищем наименьшие натуральные числа $n$ и $m$, такие что: $$ T = n \cdot T_1 = m \cdot T_2 $$ $$ n \cdot \pi = m \cdot \frac{2\pi}{3} \implies 3n = 2m $$ Наименьшие натуральные решения: $n = 2$, $m = 3$. Отсюда: $$ T = 2 \cdot \pi = 2\pi $$ Ответ: $T = 2\pi$. 5) $y = \tg 3x + 5\ctg 2x$ Функция является суммой двух функций: - Основной период тангенса равен $\pi$, поэтому для $y_1 = \tg 3x$: $$ T_1 = \frac{\pi}{3} $$ - Основной период котангенса равен $\pi$, поэтому для $y_2 = 5\ctg 2x$: $$ T_2 = \frac{\pi}{2} $$ Наименьший общий период $T$ должен быть кратен обоим периодам: $$ T = n \cdot \frac{\pi}{3} = m \cdot \frac{\pi}{2}, \quad n, m \in \mathbb{N} $$ $$ \frac{n}{3} = \frac{m}{2} \implies 2n = 3m $$ Наименьшие натуральные решения: $n = 3$, $m = 2$. Подставляя их, получаем: $$ T = 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi $$ Ответ: $T = \pi$.