ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.56

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если её область определения симметрична относительно начала координат и для любого $x$ из области определения выполняется равенство: $$ f(-x) = -f(x), \quad \text{или} \quad f(x) = -f(-x) $$ График нечётной функции симметричен относительно начала координат — точки $(0; 0)$. --- ### 1) $f(x) = x^2$, $x \geqslant 0$ 1. **Нахождение формулы функции:** Область определения функции должна быть симметричной, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Если $x < 0$, то $-x > 0$. Применяем условие нечётности: $$ f(x) = -f(-x) = -(-x)^2 = -x^2 $$ Таким образом, функция задаётся формулой: $$ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \geqslant 0, \\ -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases} $$ *(Эту же формулу можно записать компактно в виде $f(x) = x|x|$).* 2. **Построение графика:** - При $x \geqslant 0$ строим правую ветвь параболы $y = x^2$. Ключевые точки: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 4)$. - При $x < 0$ строим левую ветвь параболы $y = -x^2$ (она симметрична первой ветви относительно начала координат). Ключевые точки: $(-1; -1)$, $(-2; -4)$. - График непрерывен и проходит через начало координат $(0; 0)$. --- ### 2) $f(x) = x^2$, $x \leqslant 0$ 1. **Нахождение формулы функции:** Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Если $x > 0$, то $-x < 0$. Применяем условие нечётности: $$ f(x) = -f(-x) = -(-x)^2 = -x^2 $$ Таким образом, функция задаётся формулой: $$ f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x > 0, \\ x^2, & \text{если } x \leqslant 0 \end{cases} $$ *(Или в виде $f(x) = -x|x|$).* 2. **Построение графика:** - При $x \leqslant 0$ строим левую ветвь параболы $y = x^2$. Ключевые точки: $(-2; 4)$, $(-1; 1)$, $(0; 0)$. - При $x > 0$ строим правую ветвь параболы $y = -x^2$ (ветви направлены вниз). Ключевые точки: $(1; -1)$, $(2; -4)$. - График симметричен относительно точки $(0; 0)$. --- ### 3) $f(x) = x^2 - 2x$, $x \geqslant 0$ 1. **Нахождение формулы функции:** Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Если $x < 0$, то $-x > 0$. Применяем условие нечётности: $$ f(x) = -f(-x) = -((-x)^2 - 2(-x)) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x $$ Таким образом, функция задаётся формулой: $$ f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \geqslant 0, \\ -x^2 - 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases} $$ 2. **Построение графика:** - При $x \geqslant 0$ строим часть параболы $y = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$. Вершина параболы находится в точке $(1; -1)$. Точки пересечения с осями: $(0; 0)$ и $(2; 0)$. Дополнительная точка: $(3; 3)$. - При $x < 0$ строим часть параболы $y = -x^2 - 2x = -(x + 1)^2 + 1$. Вершина параболы находится в точке $(-1; 1)$. Точка пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$. Дополнительная точка: $(-3; -3)$. - График представляет собой две гладко соединяющиеся в начале координат дуги парабол, симметричные относительно точки $(0; 0)$. --- ### 4) $f(x) = \sqrt{x}$, $x > 0$ 1. **Нахождение формулы функции:** Так как задано строгое неравенство $x > 0$, симметричная область определения состоит из двух промежутков: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Если $x < 0$, то $-x > 0$. Применяем условие нечётности: $$ f(x) = -f(-x) = -\sqrt{-x} $$ Таким образом, функция задаётся формулой: $$ f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x > 0, \\ -\sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases} $$ 2. **Построение графика:** - При $x > 0$ строим ветвь графика $y = \sqrt{x}$ в первой координатной четверти. Ключевые точки: $(1; 1)$, $(4; 2)$, $(9; 3)$. Точка $(0; 0)$ не принадлежит графику (выколотая). - При $x < 0$ строим ветвь графика $y = -\sqrt{-x}$ в третьей координатной четверти (симметрично первой части относительно начала координат). Ключевые точки: $(-1; -1)$, $(-4; -2)$, $(-9; -3)$. Точка $(0; 0)$ выколота.