ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.55

По определению, функция $y = f(x)$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно начала координат и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат $Oy$. --- ### 1) $f(x) = \sqrt{x}$, $x \geqslant 0$ Так как функция определена при $x \geqslant 0$, то по свойству чётности она должна быть определена и для всех $x < 0$. При $x < 0$ значение аргумента $-x > 0$, поэтому: $$ f(x) = f(-x) = \sqrt{-x} $$ Используя определение модуля ($|x| = x$ при $x \geqslant 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$), функцию можно записать единой формулой: $$ f(x) = \sqrt{|x|} $$ или кусочно: $$ f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x}, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \geqslant 0. \end{cases} $$ **Построение графика:** 1. При $x \geqslant 0$ строим ветвь графика $y = \sqrt{x}$ по точкам: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(4; 2)$, $(9; 3)$. 2. При $x < 0$ симметрично отражаем построенную ветвь относительно оси $Oy$, получая точки: $(-1; 1)$, $(-4; 2)$, $(-9; 3)$. --- ### 2) $f(x) = x^2 - 3x$, $x \geqslant 0$ Для $x < 0$ значение аргумента $-x > 0$, следовательно: $$ f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 3(-x) = x^2 + 3x $$ Через модуль функция записывается в виде: $$ f(x) = x^2 - 3|x| $$ или кусочно: $$ f(x) = \begin{cases} x^2 + 3x, & \text{если } x < 0, \\ x^2 - 3x, & \text{если } x \geqslant 0. \end{cases} $$ **Построение графика:** 1. При $x \geqslant 0$ строим часть параболы $y = x^2 - 3x$: - нули функции: $x(x - 3) = 0 \implies x_1 = 0$, $x_2 = 3$; - вершина параболы: $x_0 = \frac{3}{2} = 1{,}5$; $y_0 = 1{,}5^2 - 3 \cdot 1{,}5 = -2{,}25$; - дополнительная точка: $(4; 4)$. 2. При $x < 0$ симметрично отражаем правую часть относительно оси $Oy$: - нуль: $x = -3$; - вершина: $(-1{,}5; -2{,}25)$; - дополнительная точка: $(-4; 4)$. --- ### 3) $f(x) = x^2 - 2x$, $x \leqslant 0$ Для $x > 0$ значение аргумента $-x < 0$, следовательно: $$ f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x $$ Так как при $x \leqslant 0$ имеем $|x| = -x$, формула через модуль принимает вид: $$ f(x) = x^2 + 2|x| $$ или кусочно: $$ f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \leqslant 0, \\ x^2 + 2x, & \text{если } x > 0. \end{cases} $$ **Построение графика:** 1. При $x \leqslant 0$ строим часть параболы $y = x^2 - 2x$: - точка минимума параболы находится в $x = 1$, поэтому на луче $(-\infty; 0]$ функция только убывает; - точки для построения: $(0; 0)$, $(-1; 3)$, $(-2; 8)$. 2. При $x > 0$ симметрично отражаем левую часть относительно оси $Oy$: - точки для построения: $(1; 3)$, $(2; 8)$. - в точке $(0; 0)$ график имеет излом (острый минимум). --- ### 4) $f(x) = \frac{1}{x + 1}$, $x \leqslant 0$ Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x + 1 \ne 0 \implies x \ne -1$. Значит, при $x \leqslant 0$ область определения: $(-\infty; -1) \cup (-1; 0]$. В силу чётности область определения должна быть симметрична относительно нуля, то есть $x \ne 1$. Для $x > 0$ (при $x \ne 1$): $$ f(x) = f(-x) = \frac{1}{-x + 1} = \frac{1}{1 - x} $$ Формула функции: $$ f(x) = \frac{1}{1 - |x|}, \quad x \ne \pm 1 $$ или кусочно: $$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x + 1}, & \text{если } x \leqslant 0, \, x \ne -1, \\ \frac{1}{1 - x}, & \text{если } x > 0, \, x \ne 1. \end{cases} $$ **Построение графика:** 1. График имеет две вертикальные асимптоты $x = -1$ и $x = 1$, а также горизонтальную асимптоту $y = 0$ (ось $Ox$). 2. При $x \leqslant 0$ строим ветви гиперболы: - на интервале $(-\infty; -1)$: график лежит ниже оси $Ox$, при $x \to -\infty$ стремится к $y = 0$, при $x \to -1^-$ уходит в $-\infty$; контрольная точка: $(-2; -1)$, $(-3; -0{,}5)$; - на полуинтервале $(-1; 0]$: при $x \to -1^+$ уходит в $+\infty$, в точке $x = 0$ значение $y = 1$. 3. При $x > 0$ график симметричен относительно оси $Oy$: - на интервале $(0; 1)$: выходит из точки $(0; 1)$ и при $x \to 1^-$ уходит в $+\infty$; - на луче $(1; +\infty)$: при $x \to 1^+$ уходит в $-\infty$, при $x \to +\infty$ стремится к $y = 0$ снизу; контрольные точки: $(2; -1)$, $(3; -0{,}5)$.