ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.57

Функция задана формулой: $$ y = \{x\} + \cos \pi x $$ Данная функция представляет собой сумму двух функций: $y_1 = \{x\}$ и $y_2 = \cos \pi x$. 1. Рассмотрим функцию $y_1 = \{x\}$ (дробная часть числа): По определению дробной части, $\{x + 1\} = \{x\}$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Её наименьший положительный период равен: $$ T_1 = 1 $$ Любые периоды этой функции являются целыми числами ($T \in \mathbb{Z}$). 2. Рассмотрим функцию $y_2 = \cos \pi x$: Наименьший положительный период функции вида $y = \cos(kx)$ находится по формуле: $$ T = \frac{2\pi}{|k|} $$ В нашем случае $k = \pi$, следовательно: $$ T_2 = \frac{2\pi}{\pi} = 2 $$ Периодами этой функции являются числа вида $2m$, где $m \in \mathbb{Z}, m \neq 0$. 3. Точки разрыва функции $y = \{x\} + \cos \pi x$ совпадают с точками разрыва функции $\{x\}$ (все целые числа $x \in \mathbb{Z}$), так как косинус непрерывен на всей числовой прямой. Поэтому любой период $T$ исходной функции обязан быть целым числом. 4. Чтобы число $T$ являлось периодом суммы двух функций, оно должно быть кратно периодам каждого из слагаемых. Найдем наименьшее общее кратное основных периодов $T_1$ и $T_2$: $$ T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1, 2) = 2 $$ 5. Проверим выполнение условия периодичности $f(x + T) = f(x)$ при $T = 2$: $$ f(x + 2) = \{x + 2\} + \cos(\pi(x + 2)) = \{x\} + \cos(\pi x + 2\pi) $$ Так как $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha$, получаем: $$ f(x + 2) = \{x\} + \cos \pi x = f(x) $$ Следовательно, число 2 является наименьшим положительным периодом заданной функции. Ответ: $2$