ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.54

Для определения того, может ли выполняться каждое из равенств, воспользуемся методом вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin\alpha + b\cos\alpha$ можно представить в виде: $$ a\sin\alpha + b\cos\alpha = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\alpha + \varphi) $$ Так как для любого аргумента $-1 \le \sin(\alpha + \varphi) \le 1$, значения этого выражения лежат в пределах: $$ -\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin\alpha + b\cos\alpha \le \sqrt{a^2 + b^2} $$ Следовательно, равенство $a\sin\alpha + b\cos\alpha = c$ может выполняться тогда и только тогда, когда $|c| \le \sqrt{a^2 + b^2}$ (или $c^2 \le a^2 + b^2$). 1) $\sin\alpha + 2\cos\alpha = 3$ Здесь $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$. Найдем наибольшее возможное значение левой части: $$ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $$ Так как $\sqrt{5} < \sqrt{9} = 3$, наибольшее значение выражения $\sin\alpha + 2\cos\alpha$ равно $\sqrt{5}$, что меньше $3$. Значит, равенство выполняться не может. 2) $3\sin\alpha - 2\cos\alpha = 5$ Здесь $a = 3$, $b = -2$, $c = 5$. Найдем наибольшее возможное значение левой части: $$ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} $$ Так как $\sqrt{13} < \sqrt{25} = 5$, значение $5$ превышает максимально возможное значение выражения. Значит, равенство выполняться не может. 3) $5\cos\alpha - 3\sin\alpha = 8$ Здесь $a = -3$, $b = 5$, $c = 8$. Найдем наибольшее возможное значение левой части: $$ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} $$ Так как $\sqrt{34} < \sqrt{64} = 8$, значение $8$ превышает максимально возможное значение выражения. Значит, равенство выполняться не может. 4) $2\sin\alpha + 5\cos\alpha = -7$ Здесь $a = 2$, $b = 5$, $c = -7$. Найдем область значений левой части: $$ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} $$ Значения выражения лежат в отрезке $[-\sqrt{29}; \sqrt{29}]$. Так как $-\sqrt{29} > -\sqrt{49} = -7$, наименьшее возможное значение левой части равно $-\sqrt{29} \approx -5{,}39$, что строго больше $-7$. Значит, равенство выполняться не может. **Ответ:** 1) не может; 2) не может; 3) не может; 4) не может.