ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.53

1) $1 + \sin \alpha$ Так как для любого угла $\alpha$ справедливо неравенство $-1 \le \sin \alpha \le 1$, прибавим $1$ ко всем частям двойного неравенства: $$ 1 + (-1) \le 1 + \sin \alpha \le 1 + 1 $$ $$ 0 \le 1 + \sin \alpha \le 2 $$ Наибольшее значение: $2$ (достигается при $\sin \alpha = 1$). Наименьшее значение: $0$ (достигается при $\sin \alpha = -1$). 2) $1 - \cos \alpha$ Так как $-1 \le \cos \alpha \le 1$, умножим неравенство на $-1$ (знаки меняются на противоположные): $$ -1 \le -\cos \alpha \le 1 $$ Прибавим $1$: $$ 1 - 1 \le 1 - \cos \alpha \le 1 + 1 $$ $$ 0 \le 1 - \cos \alpha \le 2 $$ Наибольшее значение: $2$ (достигается при $\cos \alpha = -1$). Наименьшее значение: $0$ (достигается при $\cos \alpha = 1$). 3) $2 - 3 \sin \alpha$ Так как $-1 \le \sin \alpha \le 1$, умножим все части неравенства на $-3$: $$ -3 \le -3 \sin \alpha \le 3 $$ Прибавим $2$: $$ 2 - 3 \le 2 - 3 \sin \alpha \le 2 + 3 $$ $$ -1 \le 2 - 3 \sin \alpha \le 5 $$ Наибольшее значение: $5$ (достигается при $\sin \alpha = -1$). Наименьшее значение: $-1$ (достигается при $\sin \alpha = 1$). 4) $2 \cos^2 \alpha - 1$ Так как $-1 \le \cos \alpha \le 1$, квадрат косинуса принимает значения на отрезке $[0; 1]$: $$ 0 \le \cos^2 \alpha \le 1 $$ Умножим все части на $2$: $$ 0 \le 2 \cos^2 \alpha \le 2 $$ Вычтем $1$: $$ -1 \le 2 \cos^2 \alpha - 1 \le 1 $$ Наибольшее значение: $1$ (достигается при $\cos^2 \alpha = 1$). Наименьшее значение: $-1$ (достигается при $\cos^2 \alpha = 0$). 5) $|2 - 5 \cos \alpha|$ Оценим выражение под знаком модуля. Так как $-1 \le \cos \alpha \le 1$, то: $$ -5 \le -5 \cos \alpha \le 5 $$ Прибавим $2$: $$ 2 - 5 \le 2 - 5 \cos \alpha \le 2 + 5 $$ $$ -3 \le 2 - 5 \cos \alpha \le 7 $$ Выражение $2 - 5 \cos \alpha$ может принимать значение $0$, так как при $\cos \alpha = \frac{2}{5} = 0{,}4$ (что входит в отрезок $[-1; 1]$) подмодульное выражение обращается в нуль. Следовательно, наименьшее значение модуля равно $0$. Наибольшее значение модуля достигается в точке, наиболее удаленной от нуля на отрезке $[-3; 7]$, то есть при $2 - 5 \cos \alpha = 7$: $$ |7| = 7 $$ Наибольшее значение: $7$ (достигается при $\cos \alpha = -1$). Наименьшее значение: $0$ (достигается при $\cos \alpha = 0{,}4$). 6) $2 - 5 |\cos \alpha|$ Так как $-1 \le \cos \alpha \le 1$, то модуль косинуса ограничен: $$ 0 \le |\cos \alpha| \le 1 $$ Умножим все части неравенства на $-5$: $$ -5 \le -5 |\cos \alpha| \le 0 $$ Прибавим $2$: $$ 2 - 5 \le 2 - 5 |\cos \alpha| \le 2 + 0 $$ $$ -3 \le 2 - 5 |\cos \alpha| \le 2 $$ Наибольшее значение: $2$ (достигается при $|\cos \alpha| = 0$, т. е. при $\cos \alpha = 0$). Наименьшее значение: $-3$ (достигается при $|\cos \alpha| = 1$, т. е. при $\cos \alpha = \pm 1$).