ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.47

1) $y = 1 - \cos x$ Область определения функции — множество всех действительных чисел: $D(y) = \mathbb{R}$, она симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$, учитывая, что косинус — чётная функция, то есть $\cos(-x) = \cos x$: $$ y(-x) = 1 - \cos(-x) = 1 - \cos x = y(x) $$ Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной. 2) $y = x - \sin x$ Область определения $D(y) = \mathbb{R}$ симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$, учитывая, что синус — нечётная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin x$: $$ y(-x) = -x - \sin(-x) = -x - (-\sin x) = -x + \sin x = -(x - \sin x) = -y(x) $$ Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной. 3) $y = x^2 - \cos x$ Область определения $D(y) = \mathbb{R}$ симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$: $$ y(-x) = (-x)^2 - \cos(-x) = x^2 - \cos x = y(x) $$ Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной. 4) $y = x^3 + \sin x$ Область определения $D(y) = \mathbb{R}$ симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$: $$ y(-x) = (-x)^3 + \sin(-x) = -x^3 - \sin x = -(x^3 + \sin x) = -y(x) $$ Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной. 5) $y = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$ Область определения задаётся условием $1 + \cos x \ne 0$, то есть $\cos x \ne -1$, откуда $x \ne \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$: $$ y(-x) = \frac{1 - \cos(-x)}{1 + \cos(-x)} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = y(x) $$ Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной. 6) $y = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1}$ Область определения задаётся условиями: $\cos x \ne 0$ и $\tan x - 1 \ne 0$, то есть $\tan x \ne 1$. При $x = \frac{\pi}{4}$ функция не определена, однако при $x = -\frac{\pi}{4}$ значение существует, значит, область определения не является симметричной относительно нуля. Проверим также аналитически: $$ y(-x) = \frac{\tan(-x) + 1}{\tan(-x) - 1} = \frac{-\tan x + 1}{-\tan x - 1} = \frac{-(\tan x - 1)}{-(\tan x + 1)} = \frac{\tan x - 1}{\tan x + 1} $$ Так как $y(-x) \ne y(x)$ и $y(-x) \ne -y(x)$, функция является ни чётной, ни нечётной. 7) $y = \frac{x + \sin x}{x - \sin x}$ Знаменатель обращается в ноль только при $x = 0$ (уравнение $x = \sin x$ имеет единственный корень $x = 0$). Значит, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ — симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$: $$ y(-x) = \frac{-x + \sin(-x)}{-x - \sin(-x)} = \frac{-x - \sin x}{-x + \sin x} = \frac{-(x + \sin x)}{-(x - \sin x)} = \frac{x + \sin x}{x - \sin x} = y(x) $$ Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной. 8) $y = \frac{x^2 - \sin^2 x}{1 + \sin^2 x}$ Так как знаменатель $1 + \sin^2 x \ge 1 > 0$ для всех $x$, область определения $D(y) = \mathbb{R}$ симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$, учитывая, что $\sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$: $$ y(-x) = \frac{(-x)^2 - \sin^2(-x)}{1 + \sin^2(-x)} = \frac{x^2 - \sin^2 x}{1 + \sin^2 x} = y(x) $$ Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной. 9) $y = \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$ Область определения задаётся условием $1 - \sin x \ne 0$, то есть $\sin x \ne 1$, откуда $x \ne \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Например, при $x = \frac{\pi}{2}$ функция не существует, а при $x = -\frac{\pi}{2}$ определена. Значит, область определения не симметрична относительно нуля. Проверим аналитически: $$ y(-x) = \frac{1 + \sin(-x)}{1 - \sin(-x)} = \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} $$ Так как $y(-x) \ne y(x)$ и $y(-x) \ne -y(x)$, функция является ни чётной, ни нечётной. 10) $y = \cos x \cdot \sin x$ Область определения $D(y) = \mathbb{R}$ симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$: $$ y(-x) = \cos(-x) \cdot \sin(-x) = \cos x \cdot (-\sin x) = -(\cos x \cdot \sin x) = -y(x) $$ Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной. 11) $y = \tan x \cdot \sin^2 x$ Область определения: $\cos x \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ — симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$, учитывая, что $\tan(-x) = -\tan x$ и $\sin^2(-x) = \sin^2 x$: $$ y(-x) = \tan(-x) \cdot \sin^2(-x) = -\tan x \cdot \sin^2 x = -y(x) $$ Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной. 12) $y = \sin x \cdot \cot^2 x$ Область определения: $\sin x \ne 0 \implies x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$ — симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$, учитывая, что $\cot^2(-x) = (-\cot x)^2 = \cot^2 x$: $$ y(-x) = \sin(-x) \cdot \cot^2(-x) = -\sin x \cdot \cot^2 x = -y(x) $$ Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.