ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.44

1) $y = (x+3)|x-1| + (x-3)|x+1|$ Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ — симметрична относительно начала координат. Найдем $y(-x)$, используя свойство модуля $|-a| = |a|$: $$ y(-x) = (-x+3)|-x-1| + (-x-3)|-x+1| $$ $$ y(-x) = -(x-3)|-(x+1)| - (x+3)|-(x-1)| = -(x-3)|x+1| - (x+3)|x-1| $$ Вынесем общий знак «минус» за скобки: $$ y(-x) = -((x+3)|x-1| + (x-3)|x+1|) = -y(x) $$ Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной. 2) $y = (x+5)|x-3| - (x-5)|x+3|$ Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ — симметрична относительно начала координат. Найдем $y(-x)$: $$ y(-x) = (-x+5)|-x-3| - (-x-5)|-x+3| $$ $$ y(-x) = -(x-5)|-(x+3)| - (-(x+5))|-(x-3)| $$ $$ y(-x) = -(x-5)|x+3| + (x+5)|x-3| = (x+5)|x-3| - (x-5)|x+3| = y(x) $$ Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной. 3) $y = \frac{|x-7|}{x+1} + \frac{|x+7|}{x-1}$ Область определения: знаменатели дробей не равны нулю, то есть $x+1 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ — симметрична относительно начала координат. Найдем $y(-x)$: $$ y(-x) = \frac{|-x-7|}{-x+1} + \frac{|-x+7|}{-x-1} = \frac{|-(x+7)|}{-(x-1)} + \frac{|-(x-7)|}{-(x+1)} $$ $$ y(-x) = \frac{|x+7|}{-(x-1)} + \frac{|x-7|}{-(x+1)} = -\left(\frac{|x-7|}{x+1} + \frac{|x+7|}{x-1}\right) = -y(x) $$ Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной. 4) $y = \frac{|x-4|}{x+2} + \frac{|x+4|}{x-2}$ Область определения: $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$ — симметрична относительно начала координат. Найдем $y(-x)$: $$ y(-x) = \frac{|-x-4|}{-x+2} + \frac{|-x+4|}{-x-2} = \frac{|-(x+4)|}{-(x-2)} + \frac{|-(x-4)|}{-(x+2)} $$ $$ y(-x) = -\frac{|x+4|}{x-2} - \frac{|x-4|}{x+2} = -\left(\frac{|x-4|}{x+2} + \frac{|x+4|}{x-2}\right) = -y(x) $$ Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной. 5) $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x+1} - \frac{x^3 + 2x^2}{x-1}$ Область определения: $x \neq \pm 1$. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ — симметрична относительно начала координат. Найдем $f(-x)$: $$ f(-x) = \frac{(-x)^3 - 2(-x)^2}{-x+1} - \frac{(-x)^3 + 2(-x)^2}{-x-1} = \frac{-x^3 - 2x^2}{-(x-1)} - \frac{-x^3 + 2x^2}{-(x+1)} $$ Вынесем знак «минус» в числителях и знаменателях: $$ f(-x) = \frac{-(x^3 + 2x^2)}{-(x-1)} - \frac{-(x^3 - 2x^2)}{-(x+1)} = \frac{x^3 + 2x^2}{x-1} - \frac{x^3 - 2x^2}{x+1} $$ Поменяем слагаемые местами, вынеся знак «минус»: $$ f(-x) = -\left(\frac{x^3 - 2x^2}{x+1} - \frac{x^3 + 2x^2}{x-1}\right) = -f(x) $$ Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной. 6) $g(x) = \frac{(x-1)^5}{(3x+4)^3} - \frac{(x+1)^5}{(3x-4)^3}$ Область определения: $3x+4 \neq 0$ и $3x-4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm \frac{4}{3}$. $D(g) = \left(-\infty; -\frac{4}{3}\right) \cup \left(-\frac{4}{3}; \frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{4}{3}; +\infty\right)$ — симметрична относительно начала координат. Найдем $g(-x)$: $$ g(-x) = \frac{(-x-1)^5}{(3(-x)+4)^3} - \frac{(-x+1)^5}{(3(-x)-4)^3} = \frac{(-(x+1))^5}{(-3x+4)^3} - \frac{(-(x-1))^5}{(-3x-4)^3} $$ Используя свойство нечетной степени $(-a)^{2k+1} = -a^{2k+1}$: $$ g(-x) = \frac{-(x+1)^5}{(-(3x-4))^3} - \frac{-(x-1)^5}{(-(3x+4))^3} = \frac{-(x+1)^5}{-(3x-4)^3} - \frac{-(x-1)^5}{-(3x+4)^3} $$ $$ g(-x) = \frac{(x+1)^5}{(3x-4)^3} - \frac{(x-1)^5}{(3x+4)^3} = -\left(\frac{(x-1)^5}{(3x+4)^3} - \frac{(x+1)^5}{(3x-4)^3}\right) = -g(x) $$ Так как $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной.