ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.37

1) Преобразуем данное выражение, применив формулы сокращенного умножения — квадрат суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ \left(5 + 3\sqrt{7}\right)^2 + \left(5 - 3\sqrt{7}\right)^2 = \left(5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{7} + (3\sqrt{7})^2\right) + \left(5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{7} + (3\sqrt{7})^2\right) $$ Вычислим квадраты и произведения: $$ (3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63 $$ Подставим полученные значения: $$ (25 + 30\sqrt{7} + 63) + (25 - 30\sqrt{7} + 63) = 88 + 30\sqrt{7} + 88 - 30\sqrt{7} $$ Слагаемые $30\sqrt{7}$ и $-30\sqrt{7}$ взаимно уничтожаются: $$ 88 + 88 = 176 $$ Число $176$ является целым, а значит, и рациональным числом ($176 \in \mathbb{Q}$). 2) Преобразуем выражение в скобках. Сначала упростим корень $\sqrt{45}$: $$ \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} $$ Раскроем квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ \left(\sqrt{\sqrt{45} + 2\sqrt{5}} + \sqrt{\sqrt{45} - 2\sqrt{5}}\right)^2 = \left(\sqrt{\sqrt{45} + 2\sqrt{5}}\right)^2 + 2\sqrt{\sqrt{45} + 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{45} - 2\sqrt{5}} + \left(\sqrt{\sqrt{45} - 2\sqrt{5}}\right)^2 $$ Используем свойства корней: $$ \left(\sqrt{\sqrt{45} + 2\sqrt{5}}\right)^2 = \sqrt{45} + 2\sqrt{5} $$ $$ \left(\sqrt{\sqrt{45} - 2\sqrt{5}}\right)^2 = \sqrt{45} - 2\sqrt{5} $$ Произведение корней объединим под один корень и применим формулу разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$: $$ 2\sqrt{\left(\sqrt{45} + 2\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{45} - 2\sqrt{5}\right)} = 2\sqrt{(\sqrt{45})^2 - (2\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{45 - 4 \cdot 5} = 2\sqrt{45 - 20} = 2\sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10 $$ Сложим полученные части: $$ (\sqrt{45} + 2\sqrt{5}) + 10 + (\sqrt{45} - 2\sqrt{5}) = 2\sqrt{45} + 10 = 2 \cdot 3\sqrt{5} + 10 = 6\sqrt{5} + 10 $$ Теперь подставим этот результат в исходное выражение: $$ (6\sqrt{5} + 10) - 6\sqrt{5} = 10 $$ Число $10$ является целым, а значит, и рациональным числом ($10 \in \mathbb{Q}$).