ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.170

Преобразуем данную функцию с помощью формулы понижения степени: $$ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x $$ Так как функция $y = \cos 2x$ является периодической, а добавление и умножение на константы не нарушают периодичность, исходная функция $y = \cos^2 x$ также является периодической. Проверим периодичность по определению: функция $f(x)$ называется периодической с периодом $T \neq 0$, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Для функции $f(x) = \cos^2 x$ при $T = \pi$: $$ f(x + \pi) = \cos^2(x + \pi) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x = f(x) $$ Следовательно, число $\pi$ является периодом функции. Найдем наименьший положительный период. Для функции вида $y = A\cos(kx) + C$ наименьший положительный период определяется по формуле: $$ T = \frac{2\pi}{|k|} $$ В нашем случае аргумент косинуса равен $2x$, то есть $k = 2$: $$ T = \frac{2\pi}{2} = \pi $$ Меньшего положительного периода быть не может, так как наибольшее значение функции, равное $1$, достигается в точках $x = \pi n$ ($n \in \mathbb{Z}$), и расстояние между соседними такими точками равно $\pi$. **Ответ:** Да, функция является периодической; ее наименьший положительный период равен $\pi$.