ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.168

Преобразуем выражения $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$ и $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. 1) Выделим полный квадрат для выражения $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$: $$ \sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + (\cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha $$ $$ \sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha $$ Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $$ \sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha $$ 2) Разложим сумму кубов $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3$ по формуле $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$: $$ \sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)(\sin^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha) $$ Подставим $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$: $$ \sin^6\alpha + \cos^6\alpha = 1 \cdot (1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha) = 1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha $$ 3) Подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества: $$ 3(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha) - 2(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha) = 3(1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 2(1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ 3 - 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 2 + 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 3 - 2 = 1 $$ Левая часть равна правой части: $1 = 1$. Тождество доказано.