ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.173

**4.173.** Докажем тождество: $$ \mathrm{tg}^3\varphi + \mathrm{tg}^2\varphi + \mathrm{tg}\varphi + 1 - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi} = \frac{1}{\cos^2\varphi} $$ Преобразуем дробь $\dfrac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$, представив её через функцию тангенса: $$ \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi} = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} \cdot \frac{1}{\cos^2\varphi} $$ Так как $\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \mathrm{tg}\varphi$, а $\dfrac{1}{\cos^2\varphi} = 1 + \mathrm{tg}^2\varphi$, получаем: $$ \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi} = \mathrm{tg}\varphi \cdot (1 + \mathrm{tg}^2\varphi) = \mathrm{tg}\varphi + \mathrm{tg}^3\varphi $$ Подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества: $$ \mathrm{tg}^3\varphi + \mathrm{tg}^2\varphi + \mathrm{tg}\varphi + 1 - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi} = \mathrm{tg}^3\varphi + \mathrm{tg}^2\varphi + \mathrm{tg}\varphi + 1 - (\mathrm{tg}\varphi + \mathrm{tg}^3\varphi) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ \mathrm{tg}^3\varphi + \mathrm{tg}^2\varphi + \mathrm{tg}\varphi + 1 - \mathrm{tg}\varphi - \mathrm{tg}^3\varphi = \mathrm{tg}^2\varphi + 1 $$ Используя основное тригонометрическое тождество $1 + \mathrm{tg}^2\varphi = \dfrac{1}{\cos^2\varphi}$, получаем: $$ \mathrm{tg}^2\varphi + 1 = \frac{1}{\cos^2\varphi} $$ Левая часть тождества равна правой части: $$ \frac{1}{\cos^2\varphi} = \frac{1}{\cos^2\varphi} $$ Тождество доказано.