ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.171

Рассмотрим данное выражение: $$ A = \cos^2 x + \cos^2(\alpha + x) - 2\cos\alpha \cdot \cos x \cdot \cos(\alpha + x) $$ Сгруппируем второе и третье слагаемые и вынесем за скобки общий множитель $\cos(\alpha + x)$: $$ A = \cos^2 x + \cos(\alpha + x) \cdot \bigl(\cos(\alpha + x) - 2\cos\alpha \cos x\bigr) $$ Применим формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + x) = \cos\alpha \cos x - \sin\alpha \sin x$ для выражения в скобках: $$ \cos(\alpha + x) - 2\cos\alpha \cos x = \cos\alpha \cos x - \sin\alpha \sin x - 2\cos\alpha \cos x = -\cos\alpha \cos x - \sin\alpha \sin x $$ Вынесем знак «минус» за скобки и применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - x) = \cos\alpha \cos x + \sin\alpha \sin x$: $$ -(\cos\alpha \cos x + \sin\alpha \sin x) = -\cos(\alpha - x) $$ Подставим полученный результат обратно в выражение $A$: $$ A = \cos^2 x - \cos(\alpha + x) \cos(\alpha - x) $$ Преобразуем произведение косинусов в сумму по формуле $\cos u \cos v = \frac{1}{2}\bigl(\cos(u + v) + \cos(u - v)\bigr)$: $$ \cos(\alpha + x) \cos(\alpha - x) = \frac{1}{2}\bigl(\cos((\alpha + x) + (\alpha - x)) + \cos((\alpha + x) - (\alpha - x))\bigr) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 2x) $$ Используем формулу понижения степени для $\cos^2 x$: $$ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $$ Подставим оба выражения в $A$: $$ A = \frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{\cos 2\alpha + \cos 2x}{2} = \frac{1 + \cos 2x - \cos 2\alpha - \cos 2x}{2} = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $$ По формуле синуса половинного угла (или формуле понижения степени для синуса): $$ \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} = \sin^2\alpha $$ Значение выражения равно $\sin^2\alpha$ и не содержит переменной $x$. Следовательно, значение выражения не зависит от $x$, что и требовалось показать.