ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.169

В условии выражения знак умножения «$\cdot$» между $\sin^2 2\varphi$ и $0,5\cos 4\varphi$ является опечаткой знака сложения «$+$», то есть исходное выражение имеет вид: $$\sin^2 2\varphi + 0,5\cos 4\varphi + 2\sin^2\varphi + \cos 2\varphi$$ *(При исходном знаке умножения значение выражения зависит от $\varphi$: например, при $\varphi = 0$ оно равно $1$, а при $\varphi = \frac{\pi}{4}$ равно $0,5$. При знаке сложения выражение тождественно равно постоянному числу).* Упростим выражение, сгруппировав слагаемые и применив формулы понижения степени: $$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$$ 1. Преобразуем первую группу слагаемых $\sin^2 2\varphi + 0,5\cos 4\varphi$: Применим формулу понижения степени для $\sin^2 2\varphi$: $$\sin^2 2\varphi = \frac{1 - \cos 4\varphi}{2} = 0,5 - 0,5\cos 4\varphi$$ Подставим полученное выражение: $$\sin^2 2\varphi + 0,5\cos 4\varphi = 0,5 - 0,5\cos 4\varphi + 0,5\cos 4\varphi = 0,5$$ 2. Преобразуем вторую группу слагаемых $2\sin^2\varphi + \cos 2\varphi$: Применим формулу понижения степени для $\sin^2\varphi$: $$\sin^2\varphi = \frac{1 - \cos 2\varphi}{2} \implies 2\sin^2\varphi = 1 - \cos 2\varphi$$ Подставим полученное выражение: $$2\sin^2\varphi + \cos 2\varphi = 1 - \cos 2\varphi + \cos 2\varphi = 1$$ 3. Сложим результаты преобразований обеих частей: $$(\sin^2 2\varphi + 0,5\cos 4\varphi) + (2\sin^2\varphi + \cos 2\varphi) = 0,5 + 1 = 1,5$$ *(Если в учебнике эти выражения приведены как два отдельных пункта задания, то каждое из них также не зависит от $\varphi$ и равно $0,5$ и $1$ соответственно).* Так как в результате получено число $1,5$, не содержащее переменную $\varphi$, значение выражения не зависит от $\varphi$, что и требовалось доказать.