ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.167

### 1) Преобразуем сумму косинусов, сгруппировав слагаемые: $$ (\cos 9\alpha + \cos 3\alpha) + (\cos 7\alpha + \cos 5\alpha) $$ Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$: $$ \cos 9\alpha + \cos 3\alpha = 2\cos\frac{9\alpha + 3\alpha}{2}\cos\frac{9\alpha - 3\alpha}{2} = 2\cos 6\alpha\cos 3\alpha $$ $$ \cos 7\alpha + \cos 5\alpha = 2\cos\frac{7\alpha + 5\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha - 5\alpha}{2} = 2\cos 6\alpha\cos \alpha $$ Подставим полученные выражения в исходную сумму и вынесем общий множитель $2\cos 6\alpha$ за скобки: $$ 2\cos 6\alpha\cos 3\alpha + 2\cos 6\alpha\cos \alpha = 2\cos 6\alpha(\cos 3\alpha + \cos \alpha) $$ Снова применим формулу суммы косинусов для выражения в скобках: $$ \cos 3\alpha + \cos \alpha = 2\cos\frac{3\alpha + \alpha}{2}\cos\frac{3\alpha - \alpha}{2} = 2\cos 2\alpha\cos \alpha $$ Подставим результат: $$ 2\cos 6\alpha \cdot 2\cos 2\alpha\cos \alpha = 4\cos \alpha\cos 2\alpha\cos 6\alpha $$ **Ответ:** $4\cos \alpha\cos 2\alpha\cos 6\alpha$ --- ### 2) Преобразуем числитель и знаменатель дроби отдельно. 1. Преобразуем числитель $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x$, сгруппировав крайние и средние слагаемые: $$ (\sin 4x + \sin x) + (\sin 3x + \sin 2x) $$ Используем формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$: $$ \sin 4x + \sin x = 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2} $$ $$ \sin 3x + \sin 2x = 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} $$ Вынесем общий множитель $2\sin\frac{5x}{2}$ за скобки: $$ 2\sin\frac{5x}{2}\left(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right) $$ 2. Преобразуем знаменатель $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x$, аналогично сгруппировав слагаемые: $$ (\cos 4x + \cos x) + (\cos 3x + \cos 2x) $$ Используем формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$: $$ \cos 4x + \cos x = 2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2} $$ $$ \cos 3x + \cos 2x = 2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} $$ Вынесем общий множитель $2\cos\frac{5x}{2}$ за скобки: $$ 2\cos\frac{5x}{2}\left(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right) $$ 3. Составим дробь и сократим её: $$ \frac{2\sin\frac{5x}{2}\left(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right)}{2\cos\frac{5x}{2}\left(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right)} = \frac{\sin\frac{5x}{2}}{\cos\frac{5x}{2}} = \operatorname{tg}\frac{5x}{2} $$ **Ответ:** $\operatorname{tg}\frac{5x}{2}$