ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.164

**4.164.** Рассмотрим разность левой и правой частей доказываемого равенства: $$ \sin(\alpha + 2\beta) - \sin\alpha $$ Применим формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x - y}{2} \cos\frac{x + y}{2}$. В данном случае: $\frac{x - y}{2} = \frac{(\alpha + 2\beta) - \alpha}{2} = \frac{2\beta}{2} = \beta$, $\frac{x + y}{2} = \frac{(\alpha + 2\beta) + \alpha}{2} = \frac{2\alpha + 2\beta}{2} = \alpha + \beta$. Получаем: $$ \sin(\alpha + 2\beta) - \sin\alpha = 2 \sin\beta \cos(\alpha + \beta) $$ Так как по условию $\cos(\alpha + \beta) = 0$, подставим это значение в выражение: $$ \sin(\alpha + 2\beta) - \sin\alpha = 2 \sin\beta \cdot 0 = 0 $$ Отсюда следует: $$ \sin(\alpha + 2\beta) = \sin\alpha $$ Равенство доказано.