ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.163

По условию $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta = 1$, откуда выразим $\operatorname{tg}\beta$: $$ \operatorname{tg}\beta = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} $$ Воспользуемся формулами выражения синуса и косинуса двойного угла через тангенс: $$ \sin 2x = \frac{2\operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x}, \quad \cos 2x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} $$ 1) Докажем равенство $\sin 2\alpha = \sin 2\beta$. Преобразуем правую часть равенства, подставив $\operatorname{tg}\beta = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$: $$ \sin 2\beta = \frac{2\operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}^2\beta} = \frac{2 \cdot \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}}{1 + \left(\dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\right)^2} = \frac{\dfrac{2}{\operatorname{tg}\alpha}}{1 + \dfrac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha}} $$ Приведем знаменатель к общему знаменателю: $$ \sin 2\beta = \frac{\dfrac{2}{\operatorname{tg}\alpha}}{\dfrac{\operatorname{tg}^2\alpha + 1}{\operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{2}{\operatorname{tg}\alpha} \cdot \frac{\operatorname{tg}^2\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha + 1} = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} $$ Так как $\dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \sin 2\alpha$, получаем: $$ \sin 2\beta = \sin 2\alpha $$ Равенство доказано. 2) Докажем равенство $\cos 2\alpha = -\cos 2\beta$. Выразим $\cos 2\beta$ через тангенс и подставим $\operatorname{tg}\beta = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$: $$ \cos 2\beta = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\beta}{1 + \operatorname{tg}^2\beta} = \frac{1 - \left(\dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\right)^2}{1 + \left(\dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\right)^2} = \frac{1 - \dfrac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha}}{1 + \dfrac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha}} $$ Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю: $$ \cos 2\beta = \frac{\dfrac{\operatorname{tg}^2\alpha - 1}{\operatorname{tg}^2\alpha}}{\dfrac{\operatorname{tg}^2\alpha + 1}{\operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{\operatorname{tg}^2\alpha - 1}{\operatorname{tg}^2\alpha + 1} $$ Вынесем знак «минус» за скобки в числителе: $$ \cos 2\beta = -\frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} $$ Так как $\dfrac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \cos 2\alpha$, имеем: $$ \cos 2\beta = -\cos 2\alpha \iff \cos 2\alpha = -\cos 2\beta $$ Равенство доказано.