ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.124

**1)** Найдем $\cos 2\alpha$, если $\frac{\cos \alpha - 2 \sin \alpha}{\sin \alpha - 2 \cos \alpha} = -0,5$. Запишем десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,5 = -\frac{1}{2}$. Уравнение принимает вид: $$ \frac{\cos \alpha - 2 \sin \alpha}{\sin \alpha - 2 \cos \alpha} = -\frac{1}{2} $$ Используя свойство пропорции при условии, что знаменатель не равен нулю ($\sin \alpha - 2 \cos \alpha \neq 0$), получаем: $$ 2(\cos \alpha - 2 \sin \alpha) = -1 \cdot (\sin \alpha - 2 \cos \alpha) $$ Раскроем скобки: $$ 2 \cos \alpha - 4 \sin \alpha = -\sin \alpha + 2 \cos \alpha $$ Вычтем $2 \cos \alpha$ из обеих частей уравнения: $$ -4 \sin \alpha = -\sin \alpha $$ $$ -3 \sin \alpha = 0 \implies \sin \alpha = 0 $$ Проверим знаменатель: при $\sin \alpha = 0$ косинус равен $\cos \alpha = \pm 1 \neq 0$, следовательно, $\sin \alpha - 2 \cos \alpha = -2 \cos \alpha \neq 0$. Используем формулу косинуса двойного угла: $$ \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha $$ Подставим найденное значение $\sin \alpha = 0$: $$ \cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot 0^2 = 1 $$ **Ответ к пункту 1:** $1$. --- **2)** Найдем $\sin 2\alpha$, если $\frac{\cos \alpha + 2 \sin \alpha}{2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha} = -2$. Используя свойство пропорции при условии, что $2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha \neq 0$: $$ \cos \alpha + 2 \sin \alpha = -2(2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha) $$ Раскроем скобки: $$ \cos \alpha + 2 \sin \alpha = -4 \sin \alpha + 6 \cos \alpha $$ Сгруппируем слагаемые с синусом в левой части, а с косинусом — в правой: $$ 2 \sin \alpha + 4 \sin \alpha = 6 \cos \alpha - \cos \alpha $$ $$ 6 \sin \alpha = 5 \cos \alpha $$ Так как $\cos \alpha \neq 0$ (иначе и $\sin \alpha = 0$, что противоречит тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$), разделим обе части на $\cos \alpha$: $$ 6 \operatorname{tg} \alpha = 5 \implies \operatorname{tg} \alpha = \frac{5}{6} $$ Выразим $\sin 2\alpha$ через тангенс угла по формуле: $$ \sin 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} $$ Подставим значение $\operatorname{tg} \alpha = \frac{5}{6}$: $$ \sin 2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{5}{6}}{1 + \left(\frac{5}{6}\right)^2} = \frac{\frac{5}{3}}{1 + \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{61}{36}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{36}{61} = \frac{5 \cdot 12}{61} = \frac{60}{61} $$ **Ответ к пункту 2:** $\frac{60}{61}$.