ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.122

Для выражения тригонометрических функций угла $\alpha$ через $\tan\frac{\alpha}{2}$ воспользуемся формулами двойного аргумента и основным тригонометрическим тождеством: 1. Выразим $\sin\alpha$: Используем формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$ и представим знаменатель как единицу через основное тригонометрическое тождество $1 = \cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2}$: $$ \sin\alpha = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2}} $$ Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на $\cos^2\frac{\alpha}{2} \neq 0$: $$ \sin\alpha = \frac{\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}}{\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}} = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}} $$ 2. Выразим $\cos\alpha$: Используем формулу косинуса двойного угла $\cos\alpha = \cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}$ и разделим ее на тождественную единицу: $$ \cos\alpha = \frac{\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2}} $$ Разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^2\frac{\alpha}{2} \neq 0$: $$ \cos\alpha = \frac{\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}}{\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}} = \frac{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}} $$ 3. Выразим $\tan\alpha$: По определению тангенса $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Подставим полученные ранее формулы: $$ \tan\alpha = \frac{\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}}}{\frac{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}}} = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}} $$ 4. Выразим $\cot\alpha$: Так как $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$, перевернем дробь для $\tan\alpha$: $$ \cot\alpha = \frac{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}}{2\tan\frac{\alpha}{2}} $$ Ответ: $$ \sin\alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}}, \quad \cos\alpha = \frac{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}}, \quad \tan\alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}}, \quad \cot\alpha = \frac{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}}{2\tan\frac{\alpha}{2}} $$