ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.121

### 1) Используем формулы понижения степени (или формулы половинного аргумента): $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$ и $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$. Применив их для угла $42^\circ = 2 \cdot 21^\circ$, получим: $$ 1 + \cos 42^\circ = 2\cos^2 21^\circ $$ $$ 1 - \cos 42^\circ = 2\sin^2 21^\circ $$ Подставим эти выражения в исходную дробь: $$ \frac{1 + \cos 42^\circ}{1 - \cos 42^\circ} = \frac{2\cos^2 21^\circ}{2\sin^2 21^\circ} = \frac{\cos^2 21^\circ}{\sin^2 21^\circ} = \operatorname{ctg}^2 21^\circ $$ **Ответ:** $\operatorname{ctg}^2 21^\circ$ --- ### 2) Преобразуем тангенс по формуле тангенса разности: $$ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} - \operatorname{tg}\frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\operatorname{tg}\frac{x}{2}} = \frac{1 - \operatorname{tg}\frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}\frac{x}{2}} = \frac{1 - \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}}{1 + \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}} = \frac{\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}} $$ Возведем полученное выражение в квадрат: $$ \operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{\left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right)^2}{\left(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\right)^2} = \frac{\cos^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}} $$ Так как $\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} = 1$ и $2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \sin x$, имеем: $$ \operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} $$ Подставим это в исходное выражение: $$ \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \cdot \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} - \sin^2 x = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x $$ **Ответ:** $\cos^2 x$ --- ### 3) Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе, применив формулу $1 + \cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$: В числителе: $$ 1 + \cos x - 2\cos \frac{x}{2} = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} = 2\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2} - 1\right) $$ В знаменателе: $$ 1 + \cos x + 2\cos \frac{x}{2} = 2\cos^2 \frac{x}{2} + 2\cos \frac{x}{2} = 2\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2} + 1\right) $$ Подставим преобразованные выражения в дробь и сократим на $2\cos \frac{x}{2}$: $$ \frac{2\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2} - 1\right)}{2\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2} + 1\right)} = \frac{\cos \frac{x}{2} - 1}{\cos \frac{x}{2} + 1} = -\frac{1 - \cos \frac{x}{2}}{1 + \cos \frac{x}{2}} $$ Применим формулы половинного угла $1 - \cos \frac{x}{2} = 2\sin^2 \frac{x}{4}$ и $1 + \cos \frac{x}{2} = 2\cos^2 \frac{x}{4}$: $$ -\frac{2\sin^2 \frac{x}{4}}{2\cos^2 \frac{x}{4}} = -\operatorname{tg}^2 \frac{x}{4} $$ **Ответ:** $-\operatorname{tg}^2 \frac{x}{4}$ (или $\frac{\cos \frac{x}{2} - 1}{\cos \frac{x}{2} + 1}$) --- ### 4) Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе, применив формулу $1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$: В числителе: $$ (1 - \cos x) - 2\sin \frac{x}{2} = 2\sin^2 \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2} = 2\sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2} - 1\right) $$ В знаменателе: $$ (1 - \cos x) + 2\sin \frac{x}{2} = 2\sin^2 \frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2} = 2\sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2} + 1\right) $$ Подставим преобразованные выражения в дробь и сократим на $2\sin \frac{x}{2}$: $$ \frac{2\sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2} - 1\right)}{2\sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2} + 1\right)} = \frac{\sin \frac{x}{2} - 1}{\sin \frac{x}{2} + 1} $$ По формуле, аналогичной пункту 2, данное отношение также можно свернуть: $$ \frac{\sin \frac{x}{2} - 1}{\sin \frac{x}{2} + 1} = -\frac{1 - \sin \frac{x}{2}}{1 + \sin \frac{x}{2}} = -\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{4}\right) $$ **Ответ:** $\frac{\sin \frac{x}{2} - 1}{\sin \frac{x}{2} + 1}$ (или $-\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{4}\right)$)