ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.107

**1)** Найдем $\cos y$. Так как $0 < x < \frac{\pi}{2}$ (угол первой четверти), то $\sin x > 0$. По основному тригонометрическому тождеству: $$ \sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8 $$ Определим пределы изменения суммы углов $x + y$: $$ 0 < x < \frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad \pi < y < \frac{3\pi}{2} \implies \pi < x + y < 2\pi $$ В интервале $(\pi; 2\pi)$ косинус равен нулю только в точке $\frac{3\pi}{2}$. Следовательно, из условия $\cos(x + y) = 0$ получаем: $$ x + y = \frac{3\pi}{2} \implies y = \frac{3\pi}{2} - x $$ Используя формулу приведения, находим: $$ \cos y = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x = -0,8 $$ Ответ: $-0,8$. --- **2)** Найдем $\alpha + \beta$. Воспользуемся формулой тангенса суммы: $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} $$ Подставим заданные значения: $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{0,5 + \frac{1}{3}}{1 - 0,5 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1 $$ Оценим значение суммы углов $\alpha + \beta$: так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, при этом $\tan \alpha = 0,5 < 1$ и $\tan \beta = \frac{1}{3} < 1$, то $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$. Следовательно: $$ 0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} $$ Единственный угол в первой четверти, тангенс которого равен $1$, — это $\frac{\pi}{4}$. $$ \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} $$ Ответ: $\frac{\pi}{4}$. --- **3)** Найдем $\alpha - \beta$. Найдем $\cos \alpha$ и $\cos \beta$. Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (I четверть), то $\cos \alpha > 0$: $$ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{40}{41}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1600}{1681}} = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41} $$ Так как $-\frac{\pi}{2} < \beta < 0$ (IV четверть), то $\cos \beta > 0$: $$ \cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(-\frac{9}{41}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{81}{1681}} = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41} $$ Применим формулу синуса разности: $$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $$ $$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{40}{41} \cdot \frac{40}{41} - \frac{9}{41} \cdot \left(-\frac{9}{41}\right) = \frac{1600}{1681} + \frac{81}{1681} = \frac{1681}{1681} = 1 $$ Оценим границы для разности $\alpha - \beta$: $$ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad 0 < -\beta < \frac{\pi}{2} \implies 0 < \alpha - \beta < \pi $$ В интервале $(0; \pi)$ синус равен $1$ только при угле $\frac{\pi}{2}$: $$ \alpha - \beta = \frac{\pi}{2} $$ Ответ: $\frac{\pi}{2}$. --- **4)** Найдем $\alpha + \beta$. Воспользуемся формулой тангенса суммы: $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} $$ Подставим заданные значения $\tan \alpha = 3$ и $\tan \beta = -0,5$: $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{3 + (-0,5)}{1 - 3 \cdot (-0,5)} = \frac{2,5}{1 + 1,5} = \frac{2,5}{2,5} = 1 $$ Оценим границы угла $\alpha + \beta$: из условий $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} < \beta < 0$ следует, что $-\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$. На интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ функция $\tan x$ возрастает и принимает значение $1$ ровно один раз при $x = \frac{\pi}{4}$: $$ \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} $$ Ответ: $\frac{\pi}{4}$.