ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.104

**1)** Найдем $\sin(\alpha - \beta)$, если $\cos \alpha = \frac{5}{13}$, $\sin \beta = -0,6$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Используем формулу синуса разности: $$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $$ Так как угол $\alpha$ принадлежит I четверти $\left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$, то $\sin \alpha > 0$: $$ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} $$ Запишем $\sin \beta = -0,6 = -\frac{3}{5}$. Так как угол $\beta$ принадлежит III четверти $\left(\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}\right)$, то $\cos \beta < 0$: $$ \cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\sqrt{1 - (-0,6)^2} = -\sqrt{1 - 0,36} = -\sqrt{0,64} = -0,8 = -\frac{4}{5} $$ Подставим найденные значения в формулу: $$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{12}{13} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) - \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{48}{65} + \frac{15}{65} = -\frac{33}{65} $$ Ответ: $-\frac{33}{65}$. --- **2)** Найдем $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)$, если $\operatorname{ctg} \alpha = \sqrt{3}$. Используем формулу тангенса суммы: $$ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} \operatorname{tg} \alpha} $$ По определению тангенса и котангенса: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ Из таблицы тригонометрических функций известно, что $\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Подставим значения в формулу: $$ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$ Ответ: $\sqrt{3}$. --- **3)** Найдем $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$, если $\sin \alpha = -\frac{40}{41}$, $\operatorname{tg} \beta = \frac{9}{40}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Используем формулу тангенса суммы: $$ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $$ Угол $\alpha$ лежит в IV четверти $\left(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\right)$, следовательно, $\cos \alpha > 0$: $$ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{40}{41}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1600}{1681}} = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41} $$ Найдем $\operatorname{tg} \alpha$: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{40}{41}}{\frac{9}{41}} = -\frac{40}{9} $$ Подставим значения $\operatorname{tg} \alpha$ и $\operatorname{tg} \beta$ в формулу сложения: $$ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{40}{9} + \frac{9}{40}}{1 - \left(-\frac{40}{9}\right) \cdot \frac{9}{40}} = \frac{\frac{-40 \cdot 40 + 9 \cdot 9}{360}}{1 - (-1)} = \frac{\frac{-1600 + 81}{360}}{2} = \frac{-\frac{1519}{360}}{2} = -\frac{1519}{720} $$ Ответ: $-\frac{1519}{720}$ (или $-2\frac{79}{720}$).