ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.109

1) Докажем тождество: $$ \frac{\sin(x - y)}{\tan x - \tan y} = \cos x \cos y $$ Преобразуем знаменатель левой части, выразив тангенсы через синус и косинус: $$ \tan x - \tan y = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\cos x \cos y} $$ Используя формулу синуса разности $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$, получаем: $$ \tan x - \tan y = \frac{\sin(x - y)}{\cos x \cos y} $$ Подставим полученное выражение в левую часть тождества: $$ \frac{\sin(x - y)}{\tan x - \tan y} = \frac{\sin(x - y)}{\frac{\sin(x - y)}{\cos x \cos y}} = \sin(x - y) \cdot \frac{\cos x \cos y}{\sin(x - y)} = \cos x \cos y $$ Получили $\cos x \cos y = \cos x \cos y$. Левая часть равна правой, тождество доказано. --- 2) Докажем тождество: $$ \frac{\cot x + \cot y}{\sin(x + y)} = \frac{1}{\sin x \sin y} $$ Преобразуем числитель левой части, выразив котангенсы через косинус и синус: $$ \cot x + \cot y = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{\cos x \sin y + \sin x \cos y}{\sin x \sin y} $$ Применяя формулу синуса суммы $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$, получаем: $$ \cot x + \cot y = \frac{\sin(x + y)}{\sin x \sin y} $$ Подставим полученное выражение в левую часть тождества: $$ \frac{\cot x + \cot y}{\sin(x + y)} = \frac{\frac{\sin(x + y)}{\sin x \sin y}}{\sin(x + y)} = \frac{\sin(x + y)}{\sin x \sin y \cdot \sin(x + y)} = \frac{1}{\sin x \sin y} $$ Получили $\frac{1}{\sin x \sin y} = \frac{1}{\sin x \sin y}$. Левая часть равна правой, тождество доказано. --- 3) Докажем тождество: $$ \frac{\tan x + \tan y}{\tan x - \tan y} = \frac{\sin(x + y)}{\sin(x - y)} $$ Преобразуем числитель и знаменатель левой части: $$ \tan x + \tan y = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\sin(x + y)}{\cos x \cos y} $$ $$ \tan x - \tan y = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\sin(x - y)}{\cos x \cos y} $$ Подставим результаты в левую часть тождества: $$ \frac{\tan x + \tan y}{\tan x - \tan y} = \frac{\frac{\sin(x + y)}{\cos x \cos y}}{\frac{\sin(x - y)}{\cos x \cos y}} = \frac{\sin(x + y)}{\cos x \cos y} \cdot \frac{\cos x \cos y}{\sin(x - y)} = \frac{\sin(x + y)}{\sin(x - y)} $$ Получили $\frac{\sin(x + y)}{\sin(x - y)} = \frac{\sin(x + y)}{\sin(x - y)}$. Левая часть равна правой, тождество доказано. --- 4) Докажем тождество: $$ \frac{\sin(x - y)}{\sin(x + y)} = \frac{\cot y - \cot x}{\cot y + \cot x} $$ Преобразуем правую часть равенства, выразив котангенсы через косинус и синус: $$ \cot y - \cot x = \frac{\cos y}{\sin y} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\sin x \sin y} = \frac{\sin(x - y)}{\sin x \sin y} $$ $$ \cot y + \cot x = \frac{\cos y}{\sin y} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\sin x \sin y} = \frac{\sin(x + y)}{\sin x \sin y} $$ Разделим полученные выражения: $$ \frac{\cot y - \cot x}{\cot y + \cot x} = \frac{\frac{\sin(x - y)}{\sin x \sin y}}{\frac{\sin(x + y)}{\sin x \sin y}} = \frac{\sin(x - y)}{\sin x \sin y} \cdot \frac{\sin x \sin y}{\sin(x + y)} = \frac{\sin(x - y)}{\sin(x + y)} $$ Правая часть тождества равна левой части, тождество доказано.