ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.108

**1)** Используем формулу тангенса суммы двух углов: $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} $$ Подставим значения $\tan\alpha = \frac{5}{11}$ и $\tan\beta = \frac{3}{8}$: $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{5}{11} + \frac{3}{8}}{1 - \frac{5}{11} \cdot \frac{3}{8}} = \frac{\frac{5 \cdot 8 + 3 \cdot 11}{88}}{1 - \frac{15}{88}} = \frac{\frac{40 + 33}{88}}{\frac{88 - 15}{88}} = \frac{\frac{73}{88}}{\frac{73}{88}} = 1 $$ По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, следовательно, для суммы углов выполняется неравенство: $$ 0 < \alpha + \beta < \pi $$ В интервале $(0; \pi)$ значение тангенса равно $1$ только при угле $\frac{\pi}{4}$: $$ \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} $$ Что и требовалось доказать. --- **2)** Используем формулу тангенса разности двух углов: $$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta} $$ Вычислим отдельно числитель и знаменатель дроби. Числитель: $$ \tan\alpha - \tan\beta = \frac{\sqrt{3}a}{4 - a} - \frac{a - 1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}a - (4 - a)(a - 1)}{\sqrt{3}(4 - a)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ 3a - (4a - 4 - a^2 + a) = 3a - (-a^2 + 5a - 4) = a^2 - 2a + 4 $$ Таким образом, числитель равен: $$ \tan\alpha - \tan\beta = \frac{a^2 - 2a + 4}{\sqrt{3}(4 - a)} $$ Знаменатель: $$ 1 + \tan\alpha \tan\beta = 1 + \frac{\sqrt{3}a}{4 - a} \cdot \frac{a - 1}{\sqrt{3}} = 1 + \frac{a(a - 1)}{4 - a} = \frac{4 - a + a^2 - a}{4 - a} = \frac{a^2 - 2a + 4}{4 - a} $$ Найдем значение тангенса разности: $$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\frac{a^2 - 2a + 4}{\sqrt{3}(4 - a)}}{\frac{a^2 - 2a + 4}{4 - a}} = \frac{a^2 - 2a + 4}{\sqrt{3}(4 - a)} \cdot \frac{4 - a}{a^2 - 2a + 4} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ (Так как выражение $a^2 - 2a + 4 = (a - 1)^2 + 3 > 0$ при любых $a$, сокращение корректно). По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, откуда следует: $$ -\frac{\pi}{2} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2} $$ На интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ функция тангенса монотонно возрастает, поэтому равенство $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ выполняется единственным образом при: $$ \alpha - \beta = \frac{\pi}{6} $$ Что и требовалось доказать.