ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.106

1) Дано: $\sin\alpha = \frac{8}{17}$, $\cos\beta = \frac{4}{5}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Так как угол $\alpha$ принадлежит I четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), то $\cos\alpha > 0$: $$ \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17} $$ Так как угол $\beta$ принадлежит I четверти ($0 < \beta < \frac{\pi}{2}$), то $\sin\beta > 0$: $$ \sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $$ Используем формулу синуса суммы: $$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $$ $$ \sin(\alpha + \beta) = \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{32}{85} + \frac{45}{85} = \frac{77}{85} $$ Используем формулу косинуса разности: $$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $$ $$ \cos(\alpha - \beta) = \frac{15}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{8}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85} $$ Ответ к пункту 1: $\sin(\alpha + \beta) = \frac{77}{85}$, $\cos(\alpha - \beta) = \frac{84}{85}$. --- 2) Дано: $\sin\alpha = \frac{9}{41}$, $\sin\beta = -\frac{40}{41}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$. Так как угол $\alpha$ принадлежит II четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), то $\cos\alpha < 0$: $$ \cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{9}{41}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{81}{1681}} = -\sqrt{\frac{1600}{1681}} = -\frac{40}{41} $$ Так как угол $\beta$ принадлежит IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$), то $\cos\beta > 0$: $$ \cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(-\frac{40}{41}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1600}{1681}} = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41} $$ Используем формулу косинуса суммы: $$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $$ $$ \cos(\alpha + \beta) = \left(-\frac{40}{41}\right) \cdot \frac{9}{41} - \frac{9}{41} \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) = -\frac{360}{1681} + \frac{360}{1681} = 0 $$ Используем формулу синуса разности: $$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $$ $$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{9}{41} \cdot \frac{9}{41} - \left(-\frac{40}{41}\right) \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) = \frac{81}{1681} - \frac{1600}{1681} = -\frac{1519}{1681} $$ Ответ к пункту 2: $\cos(\alpha + \beta) = 0$, $\sin(\alpha - \beta) = -\frac{1519}{1681}$.