ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.96

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, в которой первый член $b_1 = a$, а знаменатель равен $q$. Её члены имеют вид: $$b_1 = a, \quad b_2 = a q, \quad b_3 = a q^2, \quad \dots, \quad b_n = a q^{n-1}$$ Возведём каждый из первых $n$ членов в квадрат: $$b_1^2 = a^2, \quad b_2^2 = a^2 q^2, \quad b_3^2 = a^2 q^4, \quad \dots, \quad b_n^2 = a^2 q^{2n-2}$$ Полученная последовательность квадратов также является геометрической прогрессией, у которой: - первый член равен $c_1 = a^2$; - знаменатель равен $Q = \frac{b_2^2}{b_1^2} = \frac{a^2 q^2}{a^2} = q^2$. Найдём сумму первых $n$ членов этой прогрессии: 1. Если $q^2 \neq 1$ (то есть $q \neq 1$ и $q \neq -1$), применим формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $$S_n = \frac{c_1 (Q^n - 1)}{Q - 1}$$ Подставим $c_1 = a^2$ и $Q = q^2$: $$S_n = \frac{a^2 ((q^2)^n - 1)}{q^2 - 1} = \frac{a^2 (q^{2n} - 1)}{q^2 - 1}$$ 2. Если $q^2 = 1$ (то есть $q = \pm 1$): Все квадраты членов прогрессии равны $a^2$: $$S_n = \underbrace{a^2 + a^2 + \dots + a^2}_{n\text{ слагаемых}} = n a^2$$ Ответ: $\frac{a^2 (q^{2n} - 1)}{q^2 - 1}$ при $q \neq \pm 1$; $n a^2$ при $q = \pm 1$.