ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.98

Пусть $u_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Выразим члены прогрессии, входящие в условие, через $u_1$ и $q$: $$ u_2 = u_1 q $$ $$ u_5 = u_1 q^4 $$ $$ u_6 = u_1 q^5 $$ Составим систему уравнений по условию задачи: $$ \begin{cases} u_1 + u_1 q^4 = 51 \\ u_1 q + u_1 q^5 = 102 \end{cases} $$ Вынесем общие множители за скобки: $$ \begin{cases} u_1(1 + q^4) = 51 \\ u_1 q(1 + q^4) = 102 \end{cases} $$ Разделим второе уравнение системы на первое: $$ \frac{u_1 q(1 + q^4)}{u_1(1 + q^4)} = \frac{102}{51} $$ $$ q = 2 $$ Подставим найденное значение $q = 2$ в первое уравнение системы: $$ u_1(1 + 2^4) = 51 $$ $$ u_1(1 + 16) = 51 $$ $$ 17u_1 = 51 $$ $$ u_1 = 3 $$ Используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $$ S_n = \frac{u_1(q^n - 1)}{q - 1} $$ Подставим известные значения $S_n = 3069$, $u_1 = 3$ и $q = 2$: $$ 3069 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} $$ $$ 3069 = 3(2^n - 1) $$ Разделим обе части уравнения на 3: $$ 2^n - 1 = 1023 $$ $$ 2^n = 1024 $$ Так как $1024 = 2^{10}$, получаем: $$ n = 10 $$ Ответ: $n = 10$