ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.99

Запишем каждый член данной последовательности через степени числа 10: $$ a_1 = 1 = \frac{10^1 - 1}{9} $$ $$ a_2 = 11 = \frac{10^2 - 1}{9} $$ $$ a_3 = 111 = \frac{10^3 - 1}{9} $$ $$ \dots $$ $$ a_n = \underbrace{11\dots1}_{n\text{ раз}} = \frac{10^n - 1}{9} $$ Составим сумму первых $n$ членов последовательности: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n $$ $$ S_n = \frac{10^1 - 1}{9} + \frac{10^2 - 1}{9} + \frac{10^3 - 1}{9} + \dots + \frac{10^n - 1}{9} $$ Вынесем общий множитель $\frac{1}{9}$ за скобки: $$ S_n = \frac{1}{9} \left( (10^1 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1) \right) $$ Сгруппируем степени числа 10 и единицы отдельно: $$ S_n = \frac{1}{9} \left( (10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - \underbrace{(1 + 1 + 1 + \dots + 1)}_{n\text{ слагаемых}} \right) $$ Сумма $10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n$ представляет собой сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 10$, а знаменатель $q = 10$. Применим формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $$ b_1 + b_2 + \dots + b_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} = \frac{10(10^n - 1)}{9} $$ Подставим полученное выражение и сумму единиц в формулу для $S_n$: $$ S_n = \frac{1}{9} \left( \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right) $$ Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $$ S_n = \frac{1}{9} \cdot \frac{10(10^n - 1) - 9n}{9} $$ $$ S_n = \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{81} $$ $$ S_n = \frac{10^{n+1} - 9n - 10}{81} $$ Ответ: $S_n = \frac{10^{n+1} - 9n - 10}{81}$ (или $\frac{1}{81}(10^{n+1} - 9n - 10)$).