ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.82

**1)** Дана последовательность $b_n = 2 \cdot 3^{n+1}$. Покажем, что последовательность является геометрической прогрессией. Для этого найдем следующий член последовательности $b_{n+1}$ и отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$: $$ b_{n+1} = 2 \cdot 3^{(n+1)+1} = 2 \cdot 3^{n+2} $$ $$ \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 \cdot 3^{n+2}}{2 \cdot 3^{n+1}} = 3^{n+2-(n+1)} = 3^1 = 3 $$ Так как отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = 3$ постоянно при любом натуральном $n$ (не зависит от $n$), данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 3$. Найдем первый член прогрессии $b_1$: $$ b_1 = 2 \cdot 3^{1+1} = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18 $$ Найдем сумму первых десяти членов $S_{10}$ по формуле суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$: $$ S_{10} = \frac{18 \cdot (3^{10} - 1)}{3 - 1} = \frac{18 \cdot (3^{10} - 1)}{2} = 9 \cdot (3^{10} - 1) $$ Вычислим значение $3^{10}$: $$ 3^{10} = (3^5)^2 = 243^2 = 59049 $$ $$ S_{10} = 9 \cdot (59049 - 1) = 9 \cdot 59048 = 531432 $$ **Ответ:** $S_{10} = 531432$. --- **2)** Дана последовательность $b_n = -\frac{3}{2^n}$. Покажем, что последовательность является геометрической прогрессией: $$ b_{n+1} = -\frac{3}{2^{n+1}} $$ $$ \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-\frac{3}{2^{n+1}}}{-\frac{3}{2^n}} = \frac{3}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{3} = \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2} $$ Так как отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{2}$ постоянно при любом натуральном $n$, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Найдем первый член прогрессии $b_1$: $$ b_1 = -\frac{3}{2^1} = -\frac{3}{2} $$ Найдем сумму первых десяти членов $S_{10}$ по формуле $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$: $$ S_{10} = \frac{-\frac{3}{2} \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-\frac{3}{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{1024}\right)}{\frac{1}{2}} $$ $$ S_{10} = -3 \cdot \left(1 - \frac{1}{1024}\right) = -3 \cdot \frac{1023}{1024} = -\frac{3069}{1024} = -2\frac{1021}{1024} $$ **Ответ:** $S_{10} = -\frac{3069}{1024} = -2\frac{1021}{1024}$.