ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.81

**1)** Дана последовательность $a_n = 5n + 3$. Чтобы показать, что последовательность является арифметической прогрессией, найдем разность $a_{n+1} - a_n$: $$ a_{n+1} = 5(n + 1) + 3 = 5n + 5 + 3 = 5n + 8 $$ $$ a_{n+1} - a_n = (5n + 8) - (5n + 3) = 5 $$ Разность $a_{n+1} - a_n = 5$ не зависит от $n$ и является постоянным числом, следовательно, данная последовательность — арифметическая прогрессия с разностью $d = 5$. Найдем сумму первых десяти членов ($S_{10}$): $a_1 = 5 \cdot 1 + 3 = 8$; $a_{10} = 5 \cdot 10 + 3 = 53$. По формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$: $$ S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{8 + 53}{2} \cdot 10 = 61 \cdot 5 = 305 $$ **2)** Дана последовательность $a_n = 5 - \frac{n}{2}$. Найдем разность $a_{n+1} - a_n$: $$ a_{n+1} = 5 - \frac{n + 1}{2} $$ $$ a_{n+1} - a_n = \left(5 - \frac{n + 1}{2}\right) - \left(5 - \frac{n}{2}\right) = -\frac{n + 1}{2} + \frac{n}{2} = -\frac{1}{2} = -0{,}5 $$ Разность $a_{n+1} - a_n = -0{,}5$ постоянна для всех $n \in \mathbb{N}$, следовательно, данная последовательность — арифметическая прогрессия с разностью $d = -0{,}5$. Найдем сумму первых десяти членов ($S_{10}$): $a_1 = 5 - \frac{1}{2} = 4{,}5$; $a_{10} = 5 - \frac{10}{2} = 5 - 5 = 0$. Используем формулу суммы первых $n$ членов: $$ S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{4{,}5 + 0}{2} \cdot 10 = 4{,}5 \cdot 5 = 22{,}5 $$ **Ответ:** 1) $S_{10} = 305$; 2) $S_{10} = 22{,}5$.