ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.78

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула: $$ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \quad \text{или} \quad S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} $$ По условию требуется найти сумму первых 5 членов, то есть $n = 5$. --- ### 1) $b_1 = 8$, $q = \frac{1}{2}$ Подставим значения в формулу суммы: $$ S_5 = \frac{8 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot \left(1 - \frac{1}{32}\right)}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 \cdot \frac{31}{32} = 16 \cdot \frac{31}{32} = \frac{31}{2} = 15{,}5 $$ **Ответ:** $15{,}5$ (или $15\frac{1}{2}$). --- ### 2) $b_1 = 500$, $q = \frac{1}{5}$ Подставим значения в формулу суммы: $$ S_5 = \frac{500 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{5}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{500 \cdot \left(1 - \frac{1}{3125}\right)}{\frac{4}{5}} = 500 \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{3124}{3125} = 625 \cdot \frac{3124}{3125} = \frac{3124}{5} = 624{,}8 $$ **Ответ:** $624{,}8$ (или $624\frac{4}{5}$). --- ### 3) $3, -6, ...$ Первый член прогрессии $b_1 = 3$, второй член $b_2 = -6$. Найдем знаменатель прогрессии: $$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{3} = -2 $$ Вычислим сумму первых пяти членов: $$ S_5 = \frac{3 \cdot (1 - (-2)^5)}{1 - (-2)} = \frac{3 \cdot (1 - (-32))}{1 + 2} = \frac{3 \cdot 33}{3} = 33 $$ **Ответ:** $33$. --- ### 4) $54, 36, ...$ Первый член прогрессии $b_1 = 54$, второй член $b_2 = 36$. Найдем знаменатель прогрессии: $$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3} $$ Вычислим сумму первых пяти членов: $$ S_5 = \frac{54 \cdot \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^5\right)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{54 \cdot \left(1 - \frac{32}{243}\right)}{\frac{1}{3}} = 54 \cdot 3 \cdot \frac{211}{243} = 162 \cdot \frac{211}{243} = \frac{2 \cdot 211}{3} = \frac{422}{3} = 140\frac{2}{3} $$ **Ответ:** $140\frac{2}{3}$. --- ### 5) $-32, 16, ...$ Первый член прогрессии $b_1 = -32$, второй член $b_2 = 16$. Найдем знаменатель прогрессии: $$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{16}{-32} = -\frac{1}{2} $$ Вычислим сумму первых пяти членов: $$ S_5 = \frac{-32 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{-32 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{32}\right)\right)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-32 \cdot \frac{33}{32}}{\frac{3}{2}} = \frac{-33}{\frac{3}{2}} = -33 \cdot \frac{2}{3} = -22 $$ **Ответ:** $-22$. --- ### 6) $1, -\frac{1}{2}, ...$ Первый член прогрессии $b_1 = 1$, второй член $b_2 = -\frac{1}{2}$. Найдем знаменатель прогрессии: $$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2} $$ Вычислим сумму первых пяти членов: $$ S_5 = \frac{1 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{1 - \left(-\frac{1}{32}\right)}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{33}{32}}{\frac{3}{2}} = \frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3} = \frac{11}{16} $$ **Ответ:** $\frac{11}{16}$. --- ### 7) $c_1 = -4$, $q = 3$ Подставим значения в формулу суммы: $$ S_5 = \frac{c_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{-4 \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{-4 \cdot (243 - 1)}{2} = -2 \cdot 242 = -484 $$ **Ответ:** $-484$. --- ### 8) $c_1 = 1$, $q = -2$ Подставим значения в формулу суммы: $$ S_5 = \frac{c_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{1 \cdot (1 - (-2)^5)}{1 - (-2)} = \frac{1 - (-32)}{1 + 2} = \frac{33}{3} = 11 $$ **Ответ:** $11$. --- ### 9) $u_1 = 3$, $q = 2$ Подставим значения в формулу суммы: $$ S_5 = \frac{u_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{3 \cdot (2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{3 \cdot (32 - 1)}{1} = 3 \cdot 31 = 93 $$ **Ответ:** $93$.