ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.53

Рассмотрим определение арифметической прогрессии и возможные значения её разности $d$. По определению, числовая последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным числом $d$ (разностью прогрессии): $$ a_{n+1} = a_n + d $$ В зависимости от разности $d$ возможны два случая: 1. **Разность прогрессии равна нулю ($d = 0$):** Определение арифметической прогрессии допускает значение $d = 0$ (такая прогрессия называется постоянной или стационарной). Если взять любое натуральное число $k$ и положить $a_1 = k^2$, а разность $d = 0$, то получим последовательность: $$ k^2, \, k^2, \, k^2, \, \dots, \, k^2 $$ Например, при $k = 1$: $$ 1^2, \, 1^2, \, 1^2, \, \dots, \, 1^2 \quad (1, \, 1, \, 1, \, \dots, \, 1) $$ Данная последовательность состоит из $2004$ членов, каждый из которых является точным квадратом натурального числа, и удовлетворяет определению арифметической прогрессии. 2. **Разность прогрессии отлична от нуля ($d \ne 0$, члены прогрессии различны):** Если по условию требуется, чтобы члены прогрессии не были равны между собой, то такая прогрессия существовать **не может**. Согласно теореме Ферма, не существует даже **четырёх** различных квадратов натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию (наибольшее возможное количество таких квадратов подряд равно трём, например: $1^2 = 1$, $5^2 = 25$, $7^2 = 49$ с разностью $d = 24$). Следовательно, составить последовательность из $2004$ различных квадратов невозможно. **Ответ:** Может, если разность прогрессии равна нулю ($d = 0$, например: $1^2, 1^2, \dots, 1^2$). Если же требуется, чтобы все члены прогрессии были различными ($d \ne 0$), то не может.