ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.52

Три числа $a, b, c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда выполняется характеристическое свойство: $$ 2b = a + c $$ **1)** Проверим числа $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$. Пусть $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{3}$, $c = \sqrt{5}$. Составим равенство: $$ 2\sqrt{3} = \sqrt{2} + \sqrt{5} $$ Обе части равенства положительны. Возведём их в квадрат: $$ (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 $$ $$ (\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 2 + 2\sqrt{10} + 5 = 7 + 2\sqrt{10} $$ Сравним полученные значения: $$ 12 \stackrel{?}{=} 7 + 2\sqrt{10} \iff 5 \stackrel{?}{=} 2\sqrt{10} $$ Сравним квадраты этих чисел: $$ 5^2 = 25, \quad (2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40 $$ Так как $25 \neq 40$, то $5 \neq 2\sqrt{10}$, а значит: $$ 2\sqrt{3} \neq \sqrt{2} + \sqrt{5} $$ Характеристическое свойство не выполняется. **Ответ:** нет, не могут. --- **2)** Проверим числа $\sqrt{5} - \sqrt{2}$, $1$, $\frac{1 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2} + 2}$. Пусть $a = \sqrt{5} - \sqrt{2}$, $b = 1$, $c = \frac{1 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2} + 2}$. Найдём сумму крайних членов $a + c$: $$ a + c = (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + \frac{1 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2} + 2} $$ Приведём слагаемые к общему знаменателю: $$ a + c = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2} + 2) + 1 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2} + 2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2} + 2) = (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) + 2(\sqrt{5} - \sqrt{2}) $$ $$ = (5 - 2) + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{2} $$ Подставим полученное выражение в числитель дроби: $$ (3 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{2}) + 1 + 4\sqrt{2} = 4 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2} = 2(2 + \sqrt{5} + \sqrt{2}) $$ Тогда вся дробь равна: $$ a + c = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{2} + 2)}{\sqrt{5} + \sqrt{2} + 2} = 2 $$ Удвоенный средний член равен: $$ 2b = 2 \cdot 1 = 2 $$ Так как $2b = a + c$ ($2 = 2$), характеристическое свойство выполняется. **Ответ:** да, могут.