ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.47

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$ Используя условие задачи, запишем формулы для $p$-го и $q$-го членов: $$ \begin{cases} a_p = a_1 + (p - 1)d = q \\ a_q = a_1 + (q - 1)d = p \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ (a_1 + (p - 1)d) - (a_1 + (q - 1)d) = q - p $$ $$ (p - 1 - q + 1)d = -(p - q) $$ $$ (p - q)d = -(p - q) $$ Так как номера членов различны ($p \neq q$), разделим обе части уравнения на $(p - q)$: $$ d = -1 $$ Подставим найденное значение разности $d = -1$ в первое уравнение, чтобы выразить $a_1$: $$ a_1 + (p - 1) \cdot (-1) = q $$ $$ a_1 - p + 1 = q $$ $$ a_1 = p + q - 1 $$ Теперь подставим $a_1 = p + q - 1$ и $d = -1$ в общую формулу $n$-го члена: $$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$ $$ a_n = (p + q - 1) + (n - 1) \cdot (-1) $$ $$ a_n = p + q - 1 - n + 1 $$ $$ a_n = p + q - n $$ Ответ: $a_n = p + q - n$