ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.48

Рассмотрим две заданные арифметические прогрессии, содержащие по $n = 100$ членов. 1. Для первой арифметической прогрессии: $5, 8, 11, \dots$ Первый член: $a_1 = 5$. Разность прогрессии: $d_1 = 8 - 5 = 3$. Формула $k$-го члена: $$ a_k = a_1 + (k - 1)d_1 = 5 + 3(k - 1) = 3k + 2 $$ Так как количество членов равно $100$ ($1 \le k \le 100$), найдём последний, сотый член: $$ a_{100} = 5 + 3 \cdot (100 - 1) = 5 + 3 \cdot 99 = 302 $$ 2. Для второй арифметической прогрессии: $3, 7, 11, \dots$ Первый член: $b_1 = 3$. Разность прогрессии: $d_2 = 7 - 3 = 4$. Формула $m$-го члена: $$ b_m = b_1 + (m - 1)d_2 = 3 + 4(m - 1) = 4m - 1 $$ Так как количество членов также равно $100$ ($1 \le m \le 100$), найдём сотый член: $$ b_{100} = 3 + 4 \cdot (100 - 1) = 3 + 4 \cdot 99 = 399 $$ 3. Найдём общие члены двух прогрессий. Первый общий член равен $c_1 = 11$. Общие члены образуют новую арифметическую прогрессию $c_p$, разность которой $d$ равна наименьшему общему кратному разностей исходных прогрессий: $$ d = \text{НОК}(d_1, d_2) = \text{НОК}(3, 4) = 12 $$ Формула $p$-го члена последовательности общих членов: $$ c_p = c_1 + (p - 1)d = 11 + 12(p - 1) $$ 4. Общий член должен принадлежать обеим прогрессиям, то есть не превышать наименьший из последних членов: $$ c_p \le \min(a_{100}, b_{100}) $$ $$ c_p \le 302 $$ Составим и решим неравенство относительно $p$: $$ 11 + 12(p - 1) \le 302 $$ $$ 12(p - 1) \le 302 - 11 $$ $$ 12(p - 1) \le 291 $$ $$ p - 1 \le \frac{291}{12} $$ $$ p - 1 \le 24{,}25 $$ $$ p \le 25{,}25 $$ Так как порядковый номер $p$ — натуральное число, максимальное значение $p = 25$. Следовательно, прогрессии имеют 25 общих членов. Ответ: 25.