ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.130

Последовательность $(b_n)$ называется монотонно убывающей, если для любого натурального числа $n$ выполняется условие $b_{n+1} < b_n$, то есть разность $b_{n+1} - b_n < 0$. Запишем выражение для члена последовательности с номером $n + 1$: $$ b_{n+1} = \frac{2(n + 1) + 3}{6(n + 1) - 5} = \frac{2n + 2 + 3}{6n + 6 - 5} = \frac{2n + 5}{6n + 1} $$ Составим разность $b_{n+1} - b_n$: $$ b_{n+1} - b_n = \frac{2n + 5}{6n + 1} - \frac{2n + 3}{6n - 5} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $(6n + 1)(6n - 5)$: $$ b_{n+1} - b_n = \frac{(2n + 5)(6n - 5) - (2n + 3)(6n + 1)}{(6n + 1)(6n - 5)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (2n + 5)(6n - 5) = 12n^2 - 10n + 30n - 25 = 12n^2 + 20n - 25 $$ $$ (2n + 3)(6n + 1) = 12n^2 + 2n + 18n + 3 = 12n^2 + 20n + 3 $$ Подставим полученные выражения в числитель: $$ b_{n+1} - b_n = \frac{(12n^2 + 20n - 25) - (12n^2 + 20n + 3)}{(6n + 1)(6n - 5)} $$ $$ b_{n+1} - b_n = \frac{12n^2 + 20n - 25 - 12n^2 - 20n - 3}{(6n + 1)(6n - 5)} = \frac{-28}{(6n + 1)(6n - 5)} $$ Определим знак полученной дроби при $n \in \mathbb{N}$ ($n \ge 1$): 1. Числитель равен $-28$, то есть $-28 < 0$. 2. В знаменателе при любом $n \ge 1$: $6n + 1 > 0$ (так как $6n + 1 \ge 6 \cdot 1 + 1 = 7 > 0$), $6n - 5 > 0$ (так как $6n - 5 \ge 6 \cdot 1 - 5 = 1 > 0$). Следовательно, произведение $(6n + 1)(6n - 5) > 0$. Так как числитель отрицателен, а знаменатель положителен для всех $n \ge 1$: $$ b_{n+1} - b_n < 0 $$ Отсюда следует, что $b_{n+1} < b_n$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Значит, последовательность $b_n = \frac{2n + 3}{6n - 5}$ является монотонно убывающей, что и требовалось показать.