ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.128

### 1) Последовательность $2, 4, 6, 8, \ldots$ Формула $n$-го члена последовательности имеет вид: $$ a_n = 2n, \quad n \in \mathbb{N} $$ **Монотонность:** Рассмотрим разность последующего и предыдущего членов: $$ a_{n+1} - a_n = 2(n + 1) - 2n = 2n + 2 - 2n = 2 $$ Так как $a_{n+1} - a_n = 2 > 0$, то $a_{n+1} > a_n$ для любого $n \in \mathbb{N}$. Следовательно, последовательность является **возрастающей**. **Ограниченность:** * Так как последовательность возрастает, её наименьшим членом является первый член: $a_n \ge a_1 = 2$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Значит, последовательность **ограничена снизу** числом $2$ (или любым числом, не превышающим $2$). * При увеличении $n$ значения $a_n$ неограниченно возрастают, то есть не существует такого числа $M$, для которого выполнялось бы неравенство $a_n \le M$ при всех $n$. Следовательно, последовательность **не ограничена сверху**. * Так как последовательность не ограничена сверху, она является **неограниченной**. **Итог:** последовательность возрастающая, ограничена снизу, неограниченная. --- ### 2) Последовательность $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$ Формула $n$-го члена последовательности имеет вид: $$ b_n = \frac{1}{n}, \quad n \in \mathbb{N} $$ **Монотонность:** Рассмотрим разность последующего и предыдущего членов: $$ b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n + 1)}{n(n + 1)} = -\frac{1}{n(n + 1)} $$ Для всех натуральных $n$ знаменатель $n(n + 1) > 0$, поэтому $-\frac{1}{n(n + 1)} < 0$. Значит, $b_{n+1} < b_n$. Следовательно, последовательность является **убывающей**. **Ограниченность:** * Все члены последовательности положительны, то есть $b_n > 0$ при любом $n \in \mathbb{N}$. Значит, последовательность **ограничена снизу** (например, числом $0$). * Так как последовательность убывает, её наибольшим значением является первый член: $b_n \le b_1 = 1$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Значит, последовательность **ограничена сверху** числом $1$. * Так как последовательность ограничена и снизу, и сверху ($0 < b_n \le 1$), она является **ограниченной**. **Итог:** последовательность убывающая, ограничена снизу, ограничена сверху, ограниченная. --- ### 3) Последовательность $1; -0,5; 0,05; -0,005; \ldots$ Обозначим члены последовательности как $c_n$: $c_1 = 1$, $c_2 = -0,5$, $c_3 = 0,05$, $c_4 = -0,005, \ldots$ **Монотонность:** Сравним первые члены: $$ c_1 > c_2 \quad (1 > -0,5) $$ $$ c_2 < c_3 \quad (-0,5 < 0,05) $$ $$ c_3 > c_4 \quad (0,05 > -0,005) $$ Знаки членов чередуются, соотношение между соседними членами меняется. Следовательно, эта последовательность **не является ни возрастающей, ни убывающей** (немонотонная). **Ограниченность:** * Заметим, что наименьшим среди указанных значений является $c_2 = -0,5$, а все последующие отрицательные члены ближе к нулю ($-0,005 > -0,5$). Таким образом, $c_n \ge -0,5$ для всех $n$. Значит, последовательность **ограничена снизу** числом $-0,5$. * Наибольшим членом является $c_1 = 1$, и все последующие члены меньше единицы. Таким образом, $c_n \le 1$ для всех $n$. Значит, последовательность **ограничена сверху** числом $1$. * Так как все члены последовательности удовлетворяют двойному неравенству $-0,5 \le c_n \le 1$, последовательность является **ограниченной**. **Итог:** последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей; ограничена снизу, ограничена сверху, ограниченная.