ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.119

Пусть $a_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель геометрической прогрессии $\{a_n\}$. Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $q$: $$ a_2 = a_1 q, \quad a_3 = a_1 q^2, \quad a_4 = a_1 q^3 $$ Составим систему уравнений по условию задачи: $$ \begin{cases} a_1 + a_4 = 54 \\ a_2 + a_3 = 36 \end{cases} $$ Подставим выражения для членов прогрессии: $$ \begin{cases} a_1 + a_1 q^3 = 54 \\ a_1 q + a_1 q^2 = 36 \end{cases} $$ Вынесем общие множители за скобки: $$ \begin{cases} a_1(1 + q^3) = 54 \\ a_1 q(1 + q) = 36 \end{cases} $$ Разложим сумму кубов в первом уравнении по формуле $1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2)$: $$ \begin{cases} a_1(1 + q)(1 - q + q^2) = 54 \\ a_1 q(1 + q) = 36 \end{cases} $$ Так как $a_2 + a_3 = 36 \neq 0$, то $a_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $1 + q \neq 0$. Разделим первое уравнение системы на второе: $$ \frac{a_1(1 + q)(1 - q + q^2)}{a_1 q(1 + q)} = \frac{54}{36} $$ Сократим дробь в левой части на $a_1(1 + q)$, а в правой — на $18$: $$ \frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{3}{2} $$ Используя свойство пропорции, получим: $$ 2(1 - q + q^2) = 3q $$ $$ 2 - 2q + 2q^2 = 3q $$ $$ 2q^2 - 5q + 2 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $$ $$ q = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4} $$ $$ q_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2, \quad q_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} $$ По условию прогрессия является бесконечно убывающей, значит, её знаменатель должен удовлетворять условию $|q| < 1$. Следовательно, корень $q = 2$ не подходит, и $q = \frac{1}{2}$. Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $q = \frac{1}{2}$ во второе уравнение системы: $$ a_1 \cdot \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right) = 36 $$ $$ a_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = 36 $$ $$ a_1 \cdot \frac{3}{4} = 36 $$ $$ a_1 = 36 \cdot \frac{4}{3} = 48 $$ Вычислим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле $S = \frac{a_1}{1 - q}$: $$ S = \frac{48}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{48}{\frac{1}{2}} = 48 \cdot 2 = 96 $$ Ответ: 96