ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.117

Рассмотрим выражение во второй скобке: $$ S = \sqrt{3}\left(\sqrt{3} - 2\right) + \frac{3 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3}} + \dots $$ Преобразуем слагаемые: $$ b_1 = \sqrt{3}\left(\sqrt{3} - 2\right) = 3 - 2\sqrt{3} $$ $$ b_2 = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $$ $$ b_3 = \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3} - 2\right)}{3} = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{3} $$ Данный ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, так как отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно: $$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{3 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{3 - 2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ Проверим отношение третьего члена ко второму: $$ \frac{b_3}{b_2} = \frac{\frac{3 - 2\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} = q $$ Так как $|q| = \left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$: $$ S = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3} - 2\right)}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{3\left(\sqrt{3} - 2\right)}{\sqrt{3} - 1} $$ Теперь подставим полученное значение суммы $S$ в исходное выражение: $$ \left(4\sqrt{3} + 8\right) \cdot S = 4\left(\sqrt{3} + 2\right) \cdot \frac{3\left(\sqrt{3} - 2\right)}{\sqrt{3} - 1} $$ Применим формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$: $$ \left(\sqrt{3} + 2\right)\left(\sqrt{3} - 2\right) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1 $$ Подставим результат: $$ \frac{12 \cdot (-1)}{\sqrt{3} - 1} = -\frac{12}{\sqrt{3} - 1} $$ Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + 1)$: $$ -\frac{12\left(\sqrt{3} + 1\right)}{\left(\sqrt{3} - 1\right)\left(\sqrt{3} + 1\right)} = -\frac{12\left(\sqrt{3} + 1\right)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = -\frac{12\left(\sqrt{3} + 1\right)}{3 - 1} = -\frac{12\left(\sqrt{3} + 1\right)}{2} = -6\left(\sqrt{3} + 1\right) = -6\sqrt{3} - 6 $$ Ответ: $-6\left(\sqrt{3} + 1\right)$ (или $-6\sqrt{3} - 6$).